7つの座席にA, B, C, D, E, F, Gの7人が座る座り方について、次の4つの条件を満たす場合の数をそれぞれ求めます。 (1) AとBが隣り合う。 (2) AとBが隣り合わない。 (3) AとBとCのどの2人も隣り合わない。 (4) AとBが隣り合い、CとDが隣り合わない。

1. 問題の内容

7つの座席にA, B, C, D, E, F, Gの7人が座る座り方について、次の4つの条件を満たす場合の数をそれぞれ求めます。

(1) AとBが隣り合う。

(2) AとBが隣り合わない。

(3) AとBとCのどの2人も隣り合わない。

(4) AとBが隣り合い、CとDが隣り合わない。

2. 解き方の手順

(1) AとBが隣り合う場合

AとBをひとまとめにして1つの組と考えると、この組と残りの5人の合計6つのものを並べる順列を考えます。

AとBの組の中での並び方は2通り（ABまたはBA）あります。

したがって、求める場合の数は

$6! \times 2 = 720 \times 2 = 1440$通りです。

(2) AとBが隣り合わない場合

7人全員の並び方からAとBが隣り合う場合を引けば良いです。

7人全員の並び方は$7! = 5040$通りです。

AとBが隣り合う場合は(1)で求めた1440通りです。

したがって、AとBが隣り合わない場合の数は

$7! - 6! \times 2 = 5040 - 1440 = 3600$通りです。

(3) AとBとCのどの2人も隣り合わない場合

まず、D, E, F, Gの4人を並べます。これは$4! = 24$通りです。

次に、A, B, Cをこれらの4人の間の5つの隙間に入れることを考えます。

5つの隙間から3つを選んでA, B, Cを並べるので、${}_5 P_3$通りとなります。

したがって、求める場合の数は

$4! \times {}_5 P_3 = 24 \times (5 \times 4 \times 3) = 24 \times 60 = 1440$通りです。

(4) AとBが隣り合い、CとDが隣り合わない場合

まずAとBをひとまとめにし、CとDをひとまとめにします。

AとBの組をX, CとDの組をYとします。

XとY, E, F, Gの合計5つのものを並べると考えます。

5つのものの並べ方は$5! = 120$通りあります。

Xの中での並び方は2通り（ABまたはBA）、Yの中での並び方も2通り（CDまたはDC）あります。

したがって、XとY, E, F, Gを並べる並び方で、XとYが隣り合うものも含まれます。

XとYが隣り合う場合の数を求めます。XとYをひとまとめにすると、XY, E, F, Gの4つのものを並べることになり、$4! = 24$通りです。XYの順序はXYまたはYXの2通りあります。さらにX, Yそれぞれの組の中で並び方が2通りずつあるので、$4! \times 2 \times 2 \times 2 = 24 \times 8 = 192$通りとなります。

したがって、求める場合の数は

$(5! \times 2 \times 2) - (4! \times 2 \times 2 \times 2) = (120 \times 4) - (24 \times 8) = 480 - 192 = 288$通りです。

3. 最終的な答え

(1) 1440通り

(2) 3600通り

(3) 1440通り

(4) 288通り