袋の中に赤玉が6個、白玉が4個入っている。この袋から玉を1個ずつ2回取り出す。取り出した2個の玉の色が同じである確率を、以下の2つの場合について求めよ。 (1) 1回目に取り出した玉を袋に戻してから、2個目を取り出す場合（復元抽出）。 (2) 1回目に取り出した玉を袋に戻さずに、2個目を取り出す場合（非復元抽出）。

1. 問題の内容

袋の中に赤玉が6個、白玉が4個入っている。この袋から玉を1個ずつ2回取り出す。取り出した2個の玉の色が同じである確率を、以下の2つの場合について求めよ。

(1) 1回目に取り出した玉を袋に戻してから、2個目を取り出す場合（復元抽出）。

(2) 1回目に取り出した玉を袋に戻さずに、2個目を取り出す場合（非復元抽出）。

2. 解き方の手順

(1) 復元抽出の場合

1回目と2回目の試行は独立である。

- 2個とも赤玉である確率:

1回目に赤玉を取り出す確率は $\frac{6}{10}$。

2回目に赤玉を取り出す確率は $\frac{6}{10}$。

したがって、2個とも赤玉である確率は $\frac{6}{10} \times \frac{6}{10} = \frac{36}{100}$。

- 2個とも白玉である確率:

1回目に白玉を取り出す確率は $\frac{4}{10}$。

2回目に白玉を取り出す確率は $\frac{4}{10}$。

したがって、2個とも白玉である確率は $\frac{4}{10} \times \frac{4}{10} = \frac{16}{100}$。

2個の玉の色が同じである確率は、2個とも赤玉である確率と2個とも白玉である確率の和である。

$P(\text{同じ色}) = \frac{36}{100} + \frac{16}{100} = \frac{52}{100} = \frac{13}{25}$

(2) 非復元抽出の場合

1回目と2回目の試行は独立ではない。

- 2個とも赤玉である確率:

1回目に赤玉を取り出す確率は $\frac{6}{10}$。

1回目に赤玉を取り出した後、2回目に赤玉を取り出す確率は $\frac{5}{9}$。

したがって、2個とも赤玉である確率は $\frac{6}{10} \times \frac{5}{9} = \frac{30}{90}$。

- 2個とも白玉である確率:

1回目に白玉を取り出す確率は $\frac{4}{10}$。

1回目に白玉を取り出した後、2回目に白玉を取り出す確率は $\frac{3}{9}$。

したがって、2個とも白玉である確率は $\frac{4}{10} \times \frac{3}{9} = \frac{12}{90}$。

2個の玉の色が同じである確率は、2個とも赤玉である確率と2個とも白玉である確率の和である。

$P(\text{同じ色}) = \frac{30}{90} + \frac{12}{90} = \frac{42}{90} = \frac{7}{15}$

3. 最終的な答え

(1) 復元抽出の場合: $\frac{13}{25}$

(2) 非復元抽出の場合: $\frac{7}{15}$