3つの区別できる玉（a, b, c）と7つの区別できる箱（A, B, C, D, E, F, G）があります。1つの箱には1つの玉しか入れられません。 (1) 3つの玉を箱A, B, Cのみに入れる方法は何通りありますか？ (2) 3つの玉を箱に入れる方法は全部で何通りありますか？また、箱Aには玉を入れ、箱Gには玉を入れない方法は何通りありますか？

1. 問題の内容

3つの区別できる玉（a, b, c）と7つの区別できる箱（A, B, C, D, E, F, G）があります。1つの箱には1つの玉しか入れられません。

(1) 3つの玉を箱A, B, Cのみに入れる方法は何通りありますか？

(2) 3つの玉を箱に入れる方法は全部で何通りありますか？また、箱Aには玉を入れ、箱Gには玉を入れない方法は何通りありますか？

2. 解き方の手順

(1)

まず、3つの玉をどの箱に入れるかを選びます。箱A, B, Cに入れるので、箱の選び方は1通りです。

次に、3つの玉をA, B, Cの箱にどのように入れるかを考えます。

玉aを入れる箱は3通り、玉bを入れる箱は残りの2通り、玉cを入れる箱は残りの1通りです。

したがって、3つの玉を箱A, B, Cに入れる方法は $3 \times 2 \times 1 = 6$通りです。

(2)

まず、3つの玉を入れる箱を7つの箱から3つ選びます。これは組み合わせではなく順列で考える必要があります。なぜなら、どの玉をどの箱に入れるかが問題になるからです。

7つの箱から3つを選び、玉を割り当てる順列の数は $7 \times 6 \times 5$です。これは、1つ目の玉の箱の選び方が7通り、2つ目の玉の箱の選び方が6通り、3つ目の玉の箱の選び方が5通りであることを意味します。

$7 \times 6 \times 5 = 210$

次に、箱Aには玉を入れ、箱Gには玉を入れない場合を考えます。

まず箱Aにどの玉を入れるか3通りあります。

次に、残りの6つの箱から2つの箱を選び、残りの2つの玉を入れます。ここで箱Gは選択肢に入りません。

箱Gには玉を入れないので、残りの玉を入れることができる箱はB,C,D,E,Fの5個です。

箱Aに入れる玉を選んだ後、残りの2つの玉を5個の箱から選んで入れる方法を考えます。

1つの玉は5通りの箱の選択肢があり、もう1つの玉は4通りの箱の選択肢があります。

したがって、$3 \times 5 \times 4 = 60$通りです。

3. 最終的な答え

(1) 6通り

(2) 210通り、60通り