20本のくじの中に当たりくじが4本入っている。 (1) くじを3本続けて引き、引いたくじをその都度もとに戻す場合、3本のうち1本だけが当たりくじである確率を求める。 (2) くじを3本続けて引き、引いたくじをもとに戻さない場合、3本のうち1本だけが当たりくじである確率を求める。

1. 問題の内容

20本のくじの中に当たりくじが4本入っている。

(1) くじを3本続けて引き、引いたくじをその都度もとに戻す場合、3本のうち1本だけが当たりくじである確率を求める。

(2) くじを3本続けて引き、引いたくじをもとに戻さない場合、3本のうち1本だけが当たりくじである確率を求める。

2. 解き方の手順

(1) くじを引いた後に元に戻す場合

1回くじを引くときの当たりくじを引く確率は $\frac{4}{20} = \frac{1}{5}$。

外れくじを引く確率は $\frac{16}{20} = \frac{4}{5}$。

3本のうち1本だけが当たりである確率は、当たり、外れ、外れと引く場合、外れ、当たり、外れと引く場合、外れ、外れ、当たりと引く場合の3通りがある。

それぞれの確率は、

当たり、外れ、外れ：$\frac{1}{5} \times \frac{4}{5} \times \frac{4}{5} = \frac{16}{125}$

外れ、当たり、外れ：$\frac{4}{5} \times \frac{1}{5} \times \frac{4}{5} = \frac{16}{125}$

外れ、外れ、当たり：$\frac{4}{5} \times \frac{4}{5} \times \frac{1}{5} = \frac{16}{125}$

したがって、求める確率は

$3 \times \frac{16}{125} = \frac{48}{125}$

(2) くじを引いた後に元に戻さない場合

1回くじを引くときの当たりくじを引く確率は $\frac{4}{20} = \frac{1}{5}$。

外れくじを引く確率は $\frac{16}{20} = \frac{4}{5}$。

当たり、外れ、外れと引く場合、外れ、当たり、外れと引く場合、外れ、外れ、当たりと引く場合の3通りがある。

それぞれの確率は、

当たり、外れ、外れ：$\frac{4}{20} \times \frac{16}{19} \times \frac{15}{18} = \frac{4 \times 16 \times 15}{20 \times 19 \times 18} = \frac{960}{6840} = \frac{8}{57}$

外れ、当たり、外れ：$\frac{16}{20} \times \frac{4}{19} \times \frac{15}{18} = \frac{16 \times 4 \times 15}{20 \times 19 \times 18} = \frac{960}{6840} = \frac{8}{57}$

外れ、外れ、当たり：$\frac{16}{20} \times \frac{15}{19} \times \frac{4}{18} = \frac{16 \times 15 \times 4}{20 \times 19 \times 18} = \frac{960}{6840} = \frac{8}{57}$

したがって、求める確率は

$3 \times \frac{8}{57} = \frac{24}{57} = \frac{8}{19}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{48}{125}$

(2) $\frac{8}{19}$