点C($\vec{c}$)を中心とする半径$r$の円上の点をA($\vec{a}$)とする。点Aにおける円の接線上の点をP($\vec{p}$)とするとき、$ (\vec{p} - \vec{c}) \cdot (\vec{a} - \vec{c}) = r^2$となることを示す。

1. 問題の内容

点C($\vec{c}$)を中心とする半径$r$の円上の点をA($\vec{a}$)とする。点Aにおける円の接線上の点をP($\vec{p}$)とするとき、$(\vec{p} - \vec{c}) \cdot (\vec{a} - \vec{c}) = r^2$となることを示す。

2. 解き方の手順

* $\vec{CA} = \vec{a} - \vec{c}$

* $\vec{AP} = \vec{p} - \vec{a}$

* 点Pは点Aにおける円の接線上にあるので、$\vec{CA}$と$\vec{AP}$は直交する。

よって、$(\vec{a} - \vec{c}) \cdot (\vec{p} - \vec{a}) = 0$

* $(\vec{a} - \vec{c}) \cdot (\vec{p} - \vec{c} + \vec{c} - \vec{a}) = 0$と変形する

* $(\vec{a} - \vec{c}) \cdot (\vec{p} - \vec{c}) + (\vec{a} - \vec{c}) \cdot (\vec{c} - \vec{a}) = 0$

* $(\vec{a} - \vec{c}) \cdot (\vec{p} - \vec{c}) - (\vec{a} - \vec{c}) \cdot (\vec{a} - \vec{c}) = 0$

* $(\vec{a} - \vec{c}) \cdot (\vec{p} - \vec{c}) - |\vec{a} - \vec{c}|^2 = 0$

* $|\vec{a} - \vec{c}| = r$ なので、$|\vec{a} - \vec{c}|^2 = r^2$

* よって、$(\vec{p} - \vec{c}) \cdot (\vec{a} - \vec{c}) - r^2 = 0$

* したがって、$(\vec{p} - \vec{c}) \cdot (\vec{a} - \vec{c}) = r^2$ が成り立つ

3. 最終的な答え

$(\vec{p} - \vec{c}) \cdot (\vec{a} - \vec{c}) = r^2$