三角形ABCの重心をGとする。辺ABを1:4に内分する点をD、辺BCを4:3に内分する点をEとする。 (1) 3点D, E, Gが一直線上にあることを示す。 (2) DG:GEを求める。

1. 問題の内容

三角形ABCの重心をGとする。辺ABを1:4に内分する点をD、辺BCを4:3に内分する点をEとする。

(1) 3点D, E, Gが一直線上にあることを示す。

(2) DG:GEを求める。

2. 解き方の手順

(1) 3点D, E, Gが一直線上にあることを示す。

まず、$\vec{a} = \vec{OA}$, $\vec{b} = \vec{OB}$, $\vec{c} = \vec{OC}$ とする。

点Dは辺ABを1:4に内分するので、

$\vec{OD} = \frac{4\vec{a} + \vec{b}}{5}$

点Eは辺BCを4:3に内分するので、

$\vec{OE} = \frac{3\vec{b} + 4\vec{c}}{7}$

点Gは三角形ABCの重心なので、

$\vec{OG} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3}$

$\vec{DE} = \vec{OE} - \vec{OD} = \frac{3\vec{b} + 4\vec{c}}{7} - \frac{4\vec{a} + \vec{b}}{5} = -\frac{4}{5}\vec{a} + \frac{8}{35}\vec{b} + \frac{4}{7}\vec{c}$

$\vec{DG} = \vec{OG} - \vec{OD} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3} - \frac{4\vec{a} + \vec{b}}{5} = -\frac{7}{15}\vec{a} + \frac{2}{15}\vec{b} + \frac{1}{3}\vec{c}$

$\vec{DG} = k\vec{DE}$となる実数kが存在することを示せばよい。

$-\frac{7}{15}\vec{a} + \frac{2}{15}\vec{b} + \frac{1}{3}\vec{c} = k(-\frac{4}{5}\vec{a} + \frac{8}{35}\vec{b} + \frac{4}{7}\vec{c})$

$\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$の係数を比較すると、

$-\frac{7}{15} = -\frac{4}{5}k$

$\frac{2}{15} = \frac{8}{35}k$

$\frac{1}{3} = \frac{4}{7}k$

全ての式から、$k = \frac{7}{12}$となるので、$\vec{DG} = \frac{7}{12}\vec{DE}$。

よって、3点D, E, Gは一直線上にある。

(2) DG:GEを求める。

$\vec{DG} = \frac{7}{12}\vec{DE}$より、$DG = \frac{7}{12}DE$。

$DE = DG + GE$だから、$DG = \frac{7}{12}(DG + GE)$。

$12DG = 7DG + 7GE$

$5DG = 7GE$

$DG:GE = 7:5$

3. 最終的な答え

(1) 3点D, E, Gは一直線上にある。

(2) DG:GE = 7:5