直径75mm、長さ1.2mの丸棒の単純支持ばりが、1mmあたり5Nの等分布荷重を受けているときの曲げ応力$\sigma_b$を求めます。ただし、$M = \frac{wl^2}{8}$、 $Z = \frac{\pi}{32}d^3$の関係を利用し、$M$と$Z$を別々に計算せずに$\sigma_b = \frac{M}{Z}$を求めます。

1. 問題の内容

直径75mm、長さ1.2mの丸棒の単純支持ばりが、1mmあたり5Nの等分布荷重を受けているときの曲げ応力$\sigma_b$を求めます。ただし、$M = \frac{wl^2}{8}$、 $Z = \frac{\pi}{32}d^3$の関係を利用し、$M$と$Z$を別々に計算せずに$\sigma_b = \frac{M}{Z}$を求めます。

2. 解き方の手順

まず、曲げ応力$\sigma_b$の式を$M$と$Z$の式で書き換えます。

$\sigma_b = \frac{M}{Z} = \frac{\frac{wl^2}{8}}{\frac{\pi}{32}d^3} = \frac{wl^2}{8} \times \frac{32}{\pi d^3}$

これを整理すると、

$\sigma_b = \frac{4wl^2}{\pi d^3}$

ここで、各値をSI単位に変換します。

* $w = 5 N/mm = 5000 N/m$

* $l = 1.2 m$

* $d = 75 mm = 0.075 m$

これらの値を$\sigma_b$の式に代入します。

$\sigma_b = \frac{4 \times 5000 \times (1.2)^2}{\pi \times (0.075)^3}$

$\sigma_b = \frac{4 \times 5000 \times 1.44}{\pi \times 0.000421875}$

$\sigma_b = \frac{28800}{0.001325899}$

$\sigma_b \approx 21721563.55 Pa = 21.72 MPa$

画像にある式展開の穴埋めをします。

$\sigma_b = \frac{M}{Z} = \frac{wl^2}{8} \times \frac{32}{\pi d^3} = \frac{w \times l^2 \times 32}{8 \times \pi \times d^3}= \frac{5000 \times (1.2)^2 \times 32}{8 \times \pi \times (0.075)^3}$

$\sigma_b = \frac{5000 \times (1.2)^2 \times 32}{8 \times \pi \times (75/1000)^3}= \frac{5000 \times (1.2)^2 \times 32}{8 \times \pi \times (75)^3} \times (1000)^3$

数値を入れると、

$\sigma_b = \frac{5000 \times (1.2)^2 \times 4}{\pi \times (0.075)^3}= \frac{5000 \times (1.2)^2 \times 4}{\pi \times (75)^3} \times (1000)^3$

(1) = 5000

(2) = 1.2

(3) = 4

(4) = $\pi$

(5) = 75

(6) = 1000

(7) = 21

(8) = 22 (四捨五入)

3. 最終的な答え

22 MPa