スカラー場 $\phi = xy^2 + xz$ が与えられたとき、以下の問いに答えます。 (1) 点 $P(1, -1, 1)$ における $\phi$ の勾配 $\text{grad} \phi (P)$ を求めます。 (2) $\phi$ の点 $P(1, -1, 1)$ における最大傾斜方向の単位ベクトル $\mathbf{u}$ を求めます。 (3) 点 $P$ から点 $Q(2, 1, 0)$ への方向における $\phi$ の方向微分係数を求めます。

1. 問題の内容

スカラー場 $\phi = xy^2 + xz$ が与えられたとき、以下の問いに答えます。

(1) 点 $P(1, -1, 1)$ における $\phi$ の勾配 $\text{grad} \phi (P)$ を求めます。

(2) $\phi$ の点 $P(1, -1, 1)$ における最大傾斜方向の単位ベクトル $\mathbf{u}$ を求めます。

(3) 点 $P$ から点 $Q(2, 1, 0)$ への方向における $\phi$ の方向微分係数を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 勾配 $\text{grad} \phi$ を求めるには、$\phi$ の各変数に関する偏微分を計算する必要があります。

$\frac{\partial \phi}{\partial x} = y^2 + z$

$\frac{\partial \phi}{\partial y} = 2xy$

$\frac{\partial \phi}{\partial z} = x$

したがって、勾配は $\text{grad} \phi = \left( \frac{\partial \phi}{\partial x}, \frac{\partial \phi}{\partial y}, \frac{\partial \phi}{\partial z} \right) = (y^2+z, 2xy, x)$ です。

点 $P(1, -1, 1)$ における勾配は、

$\text{grad} \phi (P) = ((-1)^2+1, 2(1)(-1), 1) = (1+1, -2, 1) = (2, -2, 1)$ となります。

(2) 最大傾斜方向は勾配の方向です。したがって、単位ベクトル $\mathbf{u}$ は、勾配をその大きさで割ることで得られます。

$\text{grad} \phi (P) = (2, -2, 1)$ の大きさは、

$||\text{grad} \phi (P)|| = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3$

したがって、最大傾斜方向の単位ベクトル $\mathbf{u}$ は、

$\mathbf{u} = \frac{\text{grad} \phi (P)}{||\text{grad} \phi (P)||} = \frac{(2, -2, 1)}{3} = \left( \frac{2}{3}, -\frac{2}{3}, \frac{1}{3} \right)$ となります。

(3) 方向微分係数は、勾配と方向ベクトルとの内積で与えられます。

点 $P(1, -1, 1)$ から点 $Q(2, 1, 0)$ への方向ベクトル $\mathbf{v}$ は、

$\mathbf{v} = Q - P = (2-1, 1-(-1), 0-1) = (1, 2, -1)$

単位方向ベクトル $\hat{\mathbf{v}}$ は、$\mathbf{v}$ をその大きさで割ることで得られます。

$||\mathbf{v}|| = \sqrt{1^2 + 2^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 4 + 1} = \sqrt{6}$

したがって、単位方向ベクトル $\hat{\mathbf{v}}$ は、

$\hat{\mathbf{v}} = \frac{\mathbf{v}}{||\mathbf{v}||} = \frac{(1, 2, -1)}{\sqrt{6}} = \left( \frac{1}{\sqrt{6}}, \frac{2}{\sqrt{6}}, -\frac{1}{\sqrt{6}} \right)$

方向微分係数は、$\text{grad} \phi (P) \cdot \hat{\mathbf{v}}$ で与えられます。

$\text{grad} \phi (P) \cdot \hat{\mathbf{v}} = (2, -2, 1) \cdot \left( \frac{1}{\sqrt{6}}, \frac{2}{\sqrt{6}}, -\frac{1}{\sqrt{6}} \right) = \frac{2}{\sqrt{6}} - \frac{4}{\sqrt{6}} - \frac{1}{\sqrt{6}} = \frac{2 - 4 - 1}{\sqrt{6}} = \frac{-3}{\sqrt{6}} = -\frac{\sqrt{6}}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $\text{grad} \phi (P) = (2, -2, 1)$

(2) $\mathbf{u} = \left( \frac{2}{3}, -\frac{2}{3}, \frac{1}{3} \right)$

(3) 方向微分係数 $= -\frac{\sqrt{6}}{2}$