点A(4, 2), 点B(-2, 4)と、円 $x^2 + y^2 = 4$ 上を動く点Cを頂点とする△ABCの重心の軌跡を求める。

1. 問題の内容

点A(4, 2), 点B(-2, 4)と、円 $x^2 + y^2 = 4$ 上を動く点Cを頂点とする△ABCの重心の軌跡を求める。

2. 解き方の手順

まず、点Cの座標を$(s, t)$とする。点Cは円 $x^2 + y^2 = 4$ 上の点なので、

$s^2 + t^2 = 4$

が成り立つ。

次に、△ABCの重心の座標を$(X, Y)$とする。重心の座標は各頂点の座標の平均なので、

$X = \frac{4 + (-2) + s}{3} = \frac{2 + s}{3}$

$Y = \frac{2 + 4 + t}{3} = \frac{6 + t}{3}$

となる。

上記の式を変形して、sとtをXとYで表すと、

$s = 3X - 2$

$t = 3Y - 6$

となる。

$s^2 + t^2 = 4$に代入すると、

$(3X - 2)^2 + (3Y - 6)^2 = 4$

$9X^2 - 12X + 4 + 9Y^2 - 36Y + 36 = 4$

$9X^2 - 12X + 9Y^2 - 36Y + 36 = 0$

$X^2 - \frac{4}{3}X + Y^2 - 4Y + 4 = 0$

$(X - \frac{2}{3})^2 - \frac{4}{9} + (Y - 2)^2 - 4 + 4 = 0$

$(X - \frac{2}{3})^2 + (Y - 2)^2 = \frac{4}{9}$

となる。

3. 最終的な答え

したがって、重心の軌跡は、中心$(\frac{2}{3}, 2)$、半径$\frac{2}{3}$の円である。

$(x - \frac{2}{3})^2 + (y - 2)^2 = \frac{4}{9}$