三角形ABCと点Pに対して、等式 $3\vec{AP} + 4\vec{BP} + 5\vec{CP} = \vec{0}$ が成り立つ時、 (1) 点Pは三角形ABCに対してどのような位置にあるか。 (2) 面積の比 $\triangle PBC : \triangle PCA : \triangle PAB$ を求めよ。

以下に問題の解答を示します。

1. 問題の内容

三角形ABCと点Pに対して、等式 $3\vec{AP} + 4\vec{BP} + 5\vec{CP} = \vec{0}$ が成り立つ時、

(1) 点Pは三角形ABCに対してどのような位置にあるか。

(2) 面積の比 $\triangle PBC : \triangle PCA : \triangle PAB$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 点Pの位置を求める。

与えられた式 $3\vec{AP} + 4\vec{BP} + 5\vec{CP} = \vec{0}$ を変形する。基準点をAに統一するため、$\vec{BP} = \vec{AP} - \vec{AB}$、$\vec{CP} = \vec{AP} - \vec{AC}$ を代入する。

$3\vec{AP} + 4(\vec{AP} - \vec{AB}) + 5(\vec{AP} - \vec{AC}) = \vec{0}$

$3\vec{AP} + 4\vec{AP} - 4\vec{AB} + 5\vec{AP} - 5\vec{AC} = \vec{0}$

$12\vec{AP} = 4\vec{AB} + 5\vec{AC}$

$\vec{AP} = \frac{4\vec{AB} + 5\vec{AC}}{12}$

$\vec{AP} = \frac{4\vec{AB} + 5\vec{AC}}{4 + 5} \cdot \frac{9}{12}$

$\vec{AP} = \frac{3}{4} \cdot \frac{4\vec{AB} + 5\vec{AC}}{9}$

ここで、線分BCを5:4に内分する点をDとすると、

$\vec{AD} = \frac{4\vec{AB} + 5\vec{AC}}{4 + 5} = \frac{4\vec{AB} + 5\vec{AC}}{9}$

したがって、

$\vec{AP} = \frac{3}{4} \vec{AD}$

これは、点Pが線分ADを3:1に内分する点であることを意味する。

結論として、点Pは辺BCを5:4に内分する点をDとし、線分ADを3:1に内分する点である。

(2) 面積比を求める。

$\triangle PBC : \triangle PCA : \triangle PAB$ を求める。

点Dは辺BCを5:4に内分するので、$BD:DC=5:4$。

$\triangle ABD : \triangle ADC = BD : DC = 5 : 4$

また、点Pは線分ADを3:1に内分するので、$AP:PD=3:1$。

$\triangle PBC = \frac{1}{4} \triangle DBC = \frac{1}{4} \cdot \frac{4}{9} \triangle ABC = \frac{1}{9} \triangle ABC$

$\triangle PCA = \frac{1}{4} \triangle ADC = \frac{1}{4} \cdot \frac{4}{9} \triangle ABC = \frac{1}{9} \triangle ABC$

$\triangle PAB = \frac{1}{4} \triangle ABD = \frac{1}{4} \cdot \frac{5}{9} \triangle ABC = \frac{5}{36} \triangle ABC$

よって、

$\triangle PBC : \triangle PCA : \triangle PAB = \frac{1}{9} : \frac{1}{9} : \frac{5}{36} = 4:4:5$

3. 最終的な答え

(1) 点Pは辺BCを5:4に内分する点をDとし、線分ADを3:1に内分する点である。

(2) $\triangle PBC : \triangle PCA : \triangle PAB = 4:4:5$