原点Oと放物線 $y=x^2$ 上の異なる2点A, Bがある。線分OAと線分OBが直交するとき、線分ABの中点の軌跡の方程式を求める。

1. 問題の内容

原点Oと放物線 $y=x^2$ 上の異なる2点A, Bがある。線分OAと線分OBが直交するとき、線分ABの中点の軌跡の方程式を求める。

2. 解き方の手順

* 点A, Bの座標をそれぞれ $A(a, a^2)$, $B(b, b^2)$とおく。ただし、$a \neq 0$, $b \neq 0$とする。

* 線分OAと線分OBが直交する条件を求める。OAの傾きは $\frac{a^2}{a} = a$、OBの傾きは $\frac{b^2}{b} = b$ である。OAとOBが直交するので、 $a \cdot b = -1$。つまり、$b = -\frac{1}{a}$。

* 線分ABの中点の座標を $(x, y)$とする。すると、

$x = \frac{a+b}{2} = \frac{a-\frac{1}{a}}{2}$

$y = \frac{a^2+b^2}{2} = \frac{a^2+\frac{1}{a^2}}{2}$

* $x$の式から、$2x = a - \frac{1}{a}$

* $y$の式を変形すると、$2y = a^2 + \frac{1}{a^2}$

* $(2x)^2 = (a - \frac{1}{a})^2 = a^2 - 2 + \frac{1}{a^2}$

$a^2 + \frac{1}{a^2} = (2x)^2 + 2 = 4x^2 + 2$

* したがって、$2y = 4x^2 + 2$

$y = 2x^2 + 1$

* ただし、$a \neq 0$より、$x \neq 0$

* $x = \frac{a - \frac{1}{a}}{2}$より、$x = 0$ となるのは $a = \frac{1}{a}$ すなわち $a^2=1$, $a=\pm 1$のとき。

このとき、$y = \frac{1+1}{2} = 1$。

したがって、$(x,y) \neq (0,1)$

3. 最終的な答え

$y = 2x^2 + 1$

ただし、$x \neq 0$