三角形ABCにおいて、$AB=3$, $BC=7$, $\angle BAC=120^\circ$である。 (1) 辺ACの長さを求め、さらに三角形ABCの外接円の半径Rを求める。 (2) 三角形ABCの面積Sを求め、内接円の半径rを求める。さらに、内接円と辺ABの接点をPとするとき、$AP$と$CP$の長さを求める。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$AB=3$, $BC=7$, $\angle BAC=120^\circ$である。

(1) 辺ACの長さを求め、さらに三角形ABCの外接円の半径Rを求める。

(2) 三角形ABCの面積Sを求め、内接円の半径rを求める。さらに、内接円と辺ABの接点をPとするとき、$AP$と$CP$の長さを求める。

2. 解き方の手順

(1) まず、余弦定理を用いて辺ACの長さを求める。$AC=x$とすると、

$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos \angle BAC$

$7^2 = 3^2 + x^2 - 2 \cdot 3 \cdot x \cdot \cos 120^\circ$

$49 = 9 + x^2 - 6x \cdot (-\frac{1}{2})$

$40 = x^2 + 3x$

$x^2 + 3x - 40 = 0$

$(x+8)(x-5) = 0$

$x>0$より、$x=5$。したがって、$AC=5$。

次に、正弦定理を用いて外接円の半径Rを求める。

$\frac{BC}{\sin \angle BAC} = 2R$

$\frac{7}{\sin 120^\circ} = 2R$

$\frac{7}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 2R$

$\frac{14}{\sqrt{3}} = 2R$

$R = \frac{7}{\sqrt{3}} = \frac{7\sqrt{3}}{3}$

(2) 三角形ABCの面積Sを求める。

$S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin \angle BAC$

$S = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 5 \cdot \sin 120^\circ$

$S = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

$S = \frac{15\sqrt{3}}{4}$

次に、内接円の半径rを求める。

$S = \frac{1}{2}r(AB+BC+AC)$

$\frac{15\sqrt{3}}{4} = \frac{1}{2}r(3+7+5)$

$\frac{15\sqrt{3}}{4} = \frac{1}{2}r(15)$

$\frac{15\sqrt{3}}{4} = \frac{15r}{2}$

$r = \frac{2}{15} \cdot \frac{15\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

内接円と辺ABの接点をPとすると、$AP=x$とおくと、$BP=3-x$。

$AP=x$, $AR=x$, $BP=3-x$, $BQ=3-x$, $CR=5-x$, $CQ=7-(3-x)=4+x$.

$5-x + 4+x = 7 \implies 9=7$これは矛盾。

$AP = x,BP = 3-x$

$AC = 5 = AR+RC = x + RC$, so $RC = 5-x$.

$BC = 7 = BQ + QC = 3-x + QC$, so $QC = 4+x$.

However, $QC=RC$, so $5-x = 4+x \implies 1=2x \implies x=1/2$.

$RC = 5-1/2 = 9/2$, $QC = 4+1/2 = 9/2$, consistent.

$AP=x=1$, $\triangle ABC$: sides $a=7,b=5,c=3$ and $\angle A = 120^\circ$.

$AP=s-a$, $s = \frac{a+b+c}{2} = \frac{15}{2}$.

$AP=15/2-7=1/2$.

$AP = \frac{1}{2}$

次に、CPの長さを求める。

$CP^2 = AC^2 + AP^2 - 2 \cdot AC \cdot AP \cos(120)$

$CR=QC=5-AP$

$RC = 5-\frac{1}{2} = \frac{9}{2}$

$CP^2 = (\frac{9}{2})^2 + (\frac{9}{2})^2 = \frac{81}{4}*2$

$CP = \frac{9\sqrt{2}}{2}$

3. 最終的な答え

AC = 5

R = $\frac{7\sqrt{3}}{3}$

S = $\frac{15\sqrt{3}}{4}$

r = $\frac{\sqrt{3}}{2}$

AP = $\frac{1}{2}$

CP = $\frac{9\sqrt{2}}{2}$