座標空間内の2点A(0, -1, 1)とB(-1, 0, 0)を結ぶ線分ABをz軸の周りに1回転させてできる回転体と、2つの平面z=0, z=1で囲まれた部分の体積を求める。

1. 問題の内容

座標空間内の2点A(0, -1, 1)とB(-1, 0, 0)を結ぶ線分ABをz軸の周りに1回転させてできる回転体と、2つの平面z=0, z=1で囲まれた部分の体積を求める。

2. 解き方の手順

まず、直線ABの方程式を求める。

直線ABの方向ベクトルは $\vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA} = (-1, 1, -1)$ である。

したがって、直線ABの方程式は、パラメータtを用いて

$(x, y, z) = (0, -1, 1) + t(-1, 1, -1) = (-t, -1+t, 1-t)$ と表せる。

$x = -t$ より $t = -x$ である。

$y = -1 + t = -1 - x$ より $x + y = -1$。

$z = 1 - t = 1 + x$ より $x = z - 1$。

したがって、$x+y = -1$と$x = z-1$から、$z-1+y = -1$、すなわち、$y=-z$となる。

線分ABをz軸の周りに回転させたときの体積を求める。

回転体の断面積は、z平面上の円の面積で与えられる。

円の半径rは、回転軸からの距離であるから、$r^2 = x^2 + y^2$ となる。

$x = z - 1$と$y = -z$を代入すると、$r^2 = (z-1)^2 + (-z)^2 = z^2 - 2z + 1 + z^2 = 2z^2 - 2z + 1$ となる。

したがって、断面積$S(z)$は、$S(z) = \pi r^2 = \pi(2z^2 - 2z + 1)$ となる。

求める体積Vは、$z=0$から$z=1$まで積分することで求められる。

$V = \int_{0}^{1} S(z) dz = \int_{0}^{1} \pi(2z^2 - 2z + 1) dz = \pi \int_{0}^{1} (2z^2 - 2z + 1) dz$

$= \pi [\frac{2}{3}z^3 - z^2 + z]_{0}^{1} = \pi (\frac{2}{3} - 1 + 1) = \pi \frac{2}{3} = \frac{2}{3}\pi$

3. 最終的な答え

$\frac{2}{3}\pi$