座標平面上に円 $K: x^2 + y^2 - 8x - 6y = 0$ がある。 (1) 円Kの中心Cの座標と半径を求めよ。 (2) 点Cを通り、直線OCに垂直な直線 $l$ の方程式を求めよ。また、直線 $l$ と円Kの交点A, Bの座標を求めよ。ただし、$A$ の $x$ 座標 $< B$ の $x$ 座標とする。 (3) (2)で求めた2点A, Bに対して、$\triangle ABD$ が正三角形となるような点Dを第1象限にとる。点Dの座標を求めよ。

1. 問題の内容

座標平面上に円 $K: x^2 + y^2 - 8x - 6y = 0$ がある。

(1) 円Kの中心Cの座標と半径を求めよ。

(2) 点Cを通り、直線OCに垂直な直線 $l$ の方程式を求めよ。また、直線 $l$ と円Kの交点A, Bの座標を求めよ。ただし、$A$ の $x$ 座標 $< B$ の $x$ 座標とする。

(3) (2)で求めた2点A, Bに対して、$\triangle ABD$ が正三角形となるような点Dを第1象限にとる。点Dの座標を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 円の方程式を平方完成する。

$x^2 - 8x + y^2 - 6y = 0$

$(x - 4)^2 - 16 + (y - 3)^2 - 9 = 0$

$(x - 4)^2 + (y - 3)^2 = 25$

よって、円の中心Cの座標は(4, 3)であり、半径は5である。

(2) 直線OCの傾きは $\frac{3}{4}$ である。直線 $l$ はOCに垂直なので、その傾きは $-\frac{4}{3}$ である。

直線 $l$ は点C(4, 3)を通るので、その方程式は

$y - 3 = -\frac{4}{3}(x - 4)$

$3(y - 3) = -4(x - 4)$

$3y - 9 = -4x + 16$

$4x + 3y - 25 = 0$

$l: 4x + 3y = 25$

直線 $l$ と円Kの交点を求める。

$y = \frac{25 - 4x}{3}$ を $x^2 + y^2 - 8x - 6y = 0$ に代入する。

$x^2 + (\frac{25 - 4x}{3})^2 - 8x - 6(\frac{25 - 4x}{3}) = 0$

$x^2 + \frac{625 - 200x + 16x^2}{9} - 8x - 50 + 8x = 0$

$9x^2 + 625 - 200x + 16x^2 - 450 = 0$

$25x^2 - 200x + 175 = 0$

$x^2 - 8x + 7 = 0$

$(x - 1)(x - 7) = 0$

$x = 1, 7$

$x = 1$ のとき、$y = \frac{25 - 4}{3} = 7$

$x = 7$ のとき、$y = \frac{25 - 28}{3} = -1$

よって、A(1, 7), B(7, -1)

(3) A(1, 7), B(7, -1)に対し、$\triangle ABD$ が正三角形となるような点Dを第1象限にとる。

ABの中点をMとすると、Mの座標は $(\frac{1+7}{2}, \frac{7-1}{2}) = (4, 3)$

ABの長さは $\sqrt{(7-1)^2 + (-1-7)^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$

正三角形の高さは $10 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3}$

直線ABの傾きは $\frac{-1-7}{7-1} = \frac{-8}{6} = -\frac{4}{3}$

直線DMはABに垂直なので、傾きは $\frac{3}{4}$

D(x, y)とすると、$\frac{y - 3}{x - 4} = \frac{3}{4}$

$4(y - 3) = 3(x - 4)$

$4y - 12 = 3x - 12$

$4y = 3x$

$y = \frac{3}{4}x$

DMの長さは $5\sqrt{3}$ なので、

$\sqrt{(x - 4)^2 + (y - 3)^2} = 5\sqrt{3}$

$(x - 4)^2 + (\frac{3}{4}x - 3)^2 = 75$

$(x - 4)^2 + (\frac{3x - 12}{4})^2 = 75$

$(x - 4)^2 + \frac{9}{16}(x - 4)^2 = 75$

$\frac{25}{16}(x - 4)^2 = 75$

$(x - 4)^2 = 75 \times \frac{16}{25} = 3 \times 16 = 48$

$x - 4 = \pm \sqrt{48} = \pm 4\sqrt{3}$

$x = 4 \pm 4\sqrt{3}$

Dは第1象限にあるので、$x > 0, y > 0$

$x = 4 + 4\sqrt{3}$

$y = \frac{3}{4}x = \frac{3}{4}(4 + 4\sqrt{3}) = 3 + 3\sqrt{3}$

D(4 + 4√3, 3 + 3√3)

3. 最終的な答え

(1) C(4, 3), 半径5

(2) $l: 4x + 3y = 25$, A(1, 7), B(7, -1)

(3) D(4 + 4√3, 3 + 3√3)