円Oに内接する四角形ABCDについて、以下の問いに答えます。 (1) 対角線BDの長さ、∠BCD、辺CDの長さ、四角形ABCDの面積、円Oの半径を求めます。 (2) Oを中心とし、A, B, C, Dを通る球面上に点Pがあるとき、四角錐P-ABCDの体積の最大値を求めます。

1. 問題の内容

円Oに内接する四角形ABCDについて、以下の問いに答えます。

(1) 対角線BDの長さ、∠BCD、辺CDの長さ、四角形ABCDの面積、円Oの半径を求めます。

(2) Oを中心とし、A, B, C, Dを通る球面上に点Pがあるとき、四角錐P-ABCDの体積の最大値を求めます。

2. 解き方の手順

(1)

対角線BDの長さ：

$\triangle ABD$において、余弦定理より、

$BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2 \cdot AB \cdot AD \cdot \cos{\angle BAD}$

$BD^2 = 2^2 + 5^2 - 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot \cos{60^{\circ}}$

$BD^2 = 4 + 25 - 20 \cdot \frac{1}{2} = 29 - 10 = 19$

$BD = \sqrt{19}$

∠BCD：

四角形ABCDは円に内接するので、$\angle BCD = 180^{\circ} - \angle BAD = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$

辺CDの長さ：

$\triangle BCD$において、余弦定理より、

$BD^2 = BC^2 + CD^2 - 2 \cdot BC \cdot CD \cdot \cos{\angle BCD}$

$19 = 2^2 + CD^2 - 2 \cdot 2 \cdot CD \cdot \cos{120^{\circ}}$

$19 = 4 + CD^2 - 4 \cdot CD \cdot (-\frac{1}{2})$

$CD^2 + 2CD - 15 = 0$

$(CD+5)(CD-3) = 0$

$CD > 0$より、$CD = 3$

四角形ABCDの面積：

$S = \triangle ABD + \triangle BCD$

$\triangle ABD = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AD \cdot \sin{\angle BAD} = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 5 \cdot \sin{60^{\circ}} = 5 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{5\sqrt{3}}{2}$

$\triangle BCD = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot CD \cdot \sin{\angle BCD} = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 3 \cdot \sin{120^{\circ}} = 3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$

$S = \frac{5\sqrt{3}}{2} + \frac{3\sqrt{3}}{2} = \frac{8\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}$

円Oの半径：

$\triangle ABD$において、正弦定理より、

$\frac{BD}{\sin{\angle BAD}} = 2R$

$\frac{\sqrt{19}}{\sin{60^{\circ}}} = 2R$

$2R = \frac{\sqrt{19}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{2\sqrt{19}}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{57}}{3}$

$R = \frac{\sqrt{57}}{3}$

(2)

四角錐P-ABCDの体積が最大となるのは、点Pが円Oの中心OからABCDの平面に垂直な直線上にあるとき。

このとき、四角錐の高さは球の半径になる。

四角錐の体積 = $\frac{1}{3} \times$ 四角形ABCDの面積 $\times$ 高さ

$V = \frac{1}{3} \times 4\sqrt{3} \times \frac{\sqrt{57}}{3} = \frac{4\sqrt{171}}{9} = \frac{4 \cdot 3 \sqrt{19}}{9} = \frac{4\sqrt{19}}{3}$

3. 最終的な答え

(1)

BD = $\sqrt{19}$

∠BCD = $120^{\circ}$

CD = $3$

S = $4\sqrt{3}$

円Oの半径 = $\frac{\sqrt{57}}{3}$

(2)

四角錐P-ABCDの体積の最大値 = $\frac{4\sqrt{19}}{3}$