三角形ABCにおいて、AB=4、AC=3、BC=aとするとき、三角形が存在するための$a$の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、AB=4、AC=3、BC=aとするとき、三角形が存在するための$a$の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

三角形が成立するための条件は、任意の2辺の長さの和が残りの1辺の長さより大きいことです。

つまり、以下の3つの不等式が成立する必要があります。

* $AB + AC > BC$

* $AB + BC > AC$

* $AC + BC > AB$

それぞれの不等式に与えられた値を代入すると、

* $4 + 3 > a$

* $4 + a > 3$

* $3 + a > 4$

これらの不等式を解くと、

* $7 > a$ すなわち $a < 7$

* $a > -1$

* $a > 1$

$a$ は辺の長さなので、$a > 0$ である必要があります。上記の条件と合わせて考えると、$a > 1$ であり、$a < 7$である必要があります。

したがって、$1 < a < 7$となります。

3. 最終的な答え

$1 < a < 7$