2点A(-1, 4), B(3, 2)を結ぶ線分ABの垂直二等分線の方程式を求める問題です。

1. 問題の内容

2点A(-1, 4), B(3, 2)を結ぶ線分ABの垂直二等分線の方程式を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) 線分ABの中点Mの座標を求めます。中点の座標は、各座標の平均を取ることで求められます。

$M = \left( \frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2} \right)$

(2) 線分ABの傾きを求めます。傾きは、$m = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$ で求められます。

(3) 垂直二等分線の傾きを求めます。垂直な直線の傾きは、元の直線の傾きの逆数の符号を反転させたものになります。つまり、垂直二等分線の傾きを$m'$とすると、$m' = - \frac{1}{m}$ です。

(4) 中点Mを通り、傾き$m'$の直線の方程式を求めます。直線の方程式は、$y - y_M = m'(x - x_M)$ で表されます。

手順(1) 中点Mの座標を計算します。

$M = \left( \frac{-1 + 3}{2}, \frac{4 + 2}{2} \right) = (1, 3)$

手順(2) 線分ABの傾きmを計算します。

$m = \frac{2 - 4}{3 - (-1)} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$

手順(3) 垂直二等分線の傾きm'を計算します。

$m' = - \frac{1}{m} = - \frac{1}{-\frac{1}{2}} = 2$

手順(4) 中点(1, 3)を通り、傾き2の直線の方程式を計算します。

$y - 3 = 2(x - 1)$

$y - 3 = 2x - 2$

$y = 2x + 1$

3. 最終的な答え

垂直二等分線の方程式は、$y = 2x + 1$です。

言い換えると、$2x - y + 1 = 0$ です。