$\omega^3 = 1$ かつ $\omega \neq 1$ のとき、$\omega^{17} + \frac{1}{\omega^{17}} - 1$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

$\omega^3 = 1$ かつ $\omega \neq 1$ のとき、$\omega^{17} + \frac{1}{\omega^{17}} - 1$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$\omega^3 = 1$ という条件から、$\omega^{17}$ を簡単にすることを考えます。

17 を 3 で割ると、17 = 3 * 5 + 2 なので、

$\omega^{17} = \omega^{3 \cdot 5 + 2} = (\omega^3)^5 \cdot \omega^2 = 1^5 \cdot \omega^2 = \omega^2$

となります。

次に、$\frac{1}{\omega^{17}}$ を簡単にします。

$\frac{1}{\omega^{17}} = \frac{1}{\omega^2}$

$\omega^3 = 1$ より $\omega \cdot \omega^2 = 1$ なので、 $\omega = \frac{1}{\omega^2}$

よって、$\frac{1}{\omega^2} = \omega$

したがって、$\omega^{17} + \frac{1}{\omega^{17}} - 1 = \omega^2 + \omega - 1$ となります。

$\omega$ は $x^3 - 1 = 0$ の解であるため、$(x-1)(x^2+x+1) = 0$ と因数分解できます。$\omega \neq 1$ であることから、$\omega$ は $x^2 + x + 1 = 0$ の解となります。

したがって、$\omega^2 + \omega + 1 = 0$ という関係式が成り立ちます。

これより、$\omega^2 + \omega = -1$ となるので、

$\omega^2 + \omega - 1 = -1 - 1 = -2$

3. 最終的な答え

-2