2つの直線 $x+ay+1=0$ と $ax+(a+2)y+3=0$ が与えられています。定数 $a$ の値を、(1) 2つの直線が平行である場合と、(2) 2つの直線が垂直である場合について、それぞれ求めます。

1. 問題の内容

2つの直線 $x+ay+1=0$ と $ax+(a+2)y+3=0$ が与えられています。定数 $a$ の値を、(1) 2つの直線が平行である場合と、(2) 2つの直線が垂直である場合について、それぞれ求めます。

2. 解き方の手順

(1) 2つの直線が平行である条件：

2つの直線 $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ と $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ が平行であるための条件は、

$\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \ne \frac{c_1}{c_2}$

であることです。

与えられた2つの直線 $x+ay+1=0$ と $ax+(a+2)y+3=0$ について、この条件を適用すると、

$\frac{1}{a} = \frac{a}{a+2} \ne \frac{1}{3}$

$\frac{1}{a} = \frac{a}{a+2}$ より、

$a^2 = a+2$

$a^2 - a - 2 = 0$

$(a-2)(a+1) = 0$

よって、$a = 2$ または $a = -1$

$a=2$ のとき、$\frac{1}{a} = \frac{1}{2}$, $\frac{a}{a+2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$, $\frac{1}{3}$ なので、$\frac{1}{2} \ne \frac{1}{3}$ が成り立ちます。

$a=-1$ のとき、$\frac{1}{a} = -1$, $\frac{a}{a+2} = \frac{-1}{1} = -1$, $\frac{1}{3}$ なので、$-1 \ne \frac{1}{3}$ が成り立ちます。

よって、$a=2$ と $a=-1$ が考えられますが、$a=0$の場合は、$x+ay+1=0$ に代入すると、$x+1=0$となり、$ax+(a+2)y+3=0$ に代入すると$2y+3=0$となり、平行ではありません。

$a = 2, -1$

(2) 2つの直線が垂直である条件：

2つの直線 $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ と $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ が垂直であるための条件は、

$a_1a_2 + b_1b_2 = 0$

であることです。

与えられた2つの直線 $x+ay+1=0$ と $ax+(a+2)y+3=0$ について、この条件を適用すると、

$1 \cdot a + a \cdot (a+2) = 0$

$a + a^2 + 2a = 0$

$a^2 + 3a = 0$

$a(a+3) = 0$

よって、$a = 0$ または $a = -3$

3. 最終的な答え

(1) 平行であるとき: $a = 2, -1$

(2) 垂直であるとき: $a = 0, -3$