$x = 4 + \sqrt{2}$、 $y = 4 - \sqrt{2}$ のとき、次の式の値を求めます。 (1) $x^2 + y^2$ (2) $\frac{y}{x} + \frac{x}{y}$

1. 問題の内容

$x = 4 + \sqrt{2}$、 $y = 4 - \sqrt{2}$ のとき、次の式の値を求めます。

(1) $x^2 + y^2$

(2) $\frac{y}{x} + \frac{x}{y}$

2. 解き方の手順

(1) $x^2 + y^2$ を計算します。

$x^2 = (4 + \sqrt{2})^2 = 16 + 8\sqrt{2} + 2 = 18 + 8\sqrt{2}$

$y^2 = (4 - \sqrt{2})^2 = 16 - 8\sqrt{2} + 2 = 18 - 8\sqrt{2}$

$x^2 + y^2 = (18 + 8\sqrt{2}) + (18 - 8\sqrt{2}) = 36$

(2) $\frac{y}{x} + \frac{x}{y}$ を計算します。

$\frac{y}{x} + \frac{x}{y} = \frac{y^2 + x^2}{xy}$

$x^2 + y^2 = 36$ (上記(1)の結果)

$xy = (4 + \sqrt{2})(4 - \sqrt{2}) = 16 - 2 = 14$

$\frac{y}{x} + \frac{x}{y} = \frac{36}{14} = \frac{18}{7}$

3. 最終的な答え

(1) $x^2 + y^2 = 36$

(2) $\frac{y}{x} + \frac{x}{y} = \frac{18}{7}$