与えられた連立一次方程式を解き、解を縦ベクトルとベクトルの和の形で表現する。 (1) $x + y + z + w = 1$ $x + z - w = 2$ (2) $x + y - z = 1$ $2x + 3y - 4z = 5$ $x + y = 3$ (3) $x + y - z = 2$

1. 問題の内容

与えられた連立一次方程式を解き、解を縦ベクトルとベクトルの和の形で表現する。

(1)

$x + y + z + w = 1$

$x + z - w = 2$

(2)

$x + y - z = 1$

$2x + 3y - 4z = 5$

$x + y = 3$

(3)

$x + y - z = 2$

2. 解き方の手順

(1) の解き方：

2つの式を足し合わせることで、$w$を消去する。

$x + y + z + w + x + z - w = 1 + 2$

$2x + y + 2z = 3$

この式から、$y = 3 - 2x - 2z$ を得る。

2番目の式から、$w = x + z - 2$ を得る。

したがって、解は

$\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \\ w \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x \\ 3 - 2x - 2z \\ z \\ x + z - 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} + x\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + z\begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$

(2) の解き方：

$x+y=3$ を $x+y-z=1$ に代入すると、$3-z=1$ となり、$z=2$ を得る。

$x+y=3$ を $2x+3y-4z=5$ に代入すると、$2x+3y-4(2)=5$, $2x+3y = 13$ となる。

$x+y=3$ より、$2x+2y = 6$。

$2x+3y = 13$ から $2x+2y = 6$ を引くと、$y = 7$ を得る。

$x + y = 3$ より、$x = 3 - y = 3 - 7 = -4$ を得る。

したがって、解は

$\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 \\ 7 \\ 2 \end{pmatrix}$

(3) の解き方：

$x + y - z = 2$ を満たす解は無数に存在する。

$x = 0$, $y = 0$ のとき、$z = -2$。

$x = 1$, $y = 0$ のとき、$1 - z = 2$, $z = -1$。

$x = 0$, $y = 1$ のとき、$1 - z = 2$, $z = -1$。

$z = 0$ とすると、$x+y = 2$。 $x = 2-y$

$\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 - y \\ y \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + y\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

(1)

$\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \\ w \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} + x\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + z\begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$

(2)

$\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 \\ 7 \\ 2 \end{pmatrix}$

(3)

$\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + y\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$