次の対数不等式を解きます。 $\log_{\frac{1}{2}}x > -\frac{2}{3}$

1. 問題の内容

次の対数不等式を解きます。

$\log_{\frac{1}{2}}x > -\frac{2}{3}$

2. 解き方の手順

対数不等式を解くために、指数関数に変換します。底が1/2なので、不等号の向きが変わることに注意します。

$\log_{\frac{1}{2}}x > -\frac{2}{3}$

$x < (\frac{1}{2})^{-\frac{2}{3}}$

$x < (2^{-1})^{-\frac{2}{3}}$

$x < 2^{\frac{2}{3}}$

ここで、$2^{\frac{2}{3}}$を簡単にします。

$2^{\frac{2}{3}} = (2^2)^{\frac{1}{3}} = 4^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{4}$

また、対数関数が定義されるためには、$x > 0$である必要があります。

3. 最終的な答え

$0 < x < \sqrt[3]{4}$