(1) $x - \frac{1}{x} = 2\sqrt{2}$ かつ $x < 0$ のとき、$x^2 + \frac{1}{x^2}$, $x + \frac{1}{x}$, $(x - \frac{1}{x^2})(x^2 + \frac{1}{x})$ の値を求めよ。 (2) 実数 $x, y$ が $x + y = 5$, $x^3 + y^3 = 50$ を満たすとき、$xy$, $x^2 + y^2$, $x^5 + y^5$ の値を求めよ。

はい、承知いたしました。画像の問題を解きます。

1. 問題の内容

(1) $x - \frac{1}{x} = 2\sqrt{2}$ かつ $x < 0$ のとき、$x^2 + \frac{1}{x^2}$, $x + \frac{1}{x}$, $(x - \frac{1}{x^2})(x^2 + \frac{1}{x})$ の値を求めよ。

(2) 実数 $x, y$ が $x + y = 5$, $x^3 + y^3 = 50$ を満たすとき、$xy$, $x^2 + y^2$, $x^5 + y^5$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$x^2 + \frac{1}{x^2}$ を求めます。

$(x - \frac{1}{x})^2 = x^2 - 2 + \frac{1}{x^2}$ なので、$x^2 + \frac{1}{x^2} = (x - \frac{1}{x})^2 + 2$ です。

$x - \frac{1}{x} = 2\sqrt{2}$ を代入すると、

$x^2 + \frac{1}{x^2} = (2\sqrt{2})^2 + 2 = 8 + 2 = 10$

次に、$x + \frac{1}{x}$ を求めます。

$(x + \frac{1}{x})^2 = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2} = (x^2 + \frac{1}{x^2}) + 2 = 10 + 2 = 12$

$x < 0$ なので、$\frac{1}{x} < 0$ です。

よって、$x + \frac{1}{x} < 0$ となります。

したがって、$x + \frac{1}{x} = -\sqrt{12} = -2\sqrt{3}$

最後に、$(x - \frac{1}{x^2})(x^2 + \frac{1}{x})$ を求めます。

$(x - \frac{1}{x^2})(x^2 + \frac{1}{x}) = x^3 + 1 - \frac{1}{x} - \frac{1}{x^3} = (x^3 - \frac{1}{x^3}) + (1 - \frac{1}{x})$

ここで、$x^3 - \frac{1}{x^3} = (x - \frac{1}{x})(x^2 + 1 + \frac{1}{x^2}) = (x - \frac{1}{x})(10 + 1) = 2\sqrt{2} \times 11 = 22\sqrt{2}$

また、$1 - \frac{1}{x}$ について、$x - \frac{1}{x} = 2\sqrt{2}$ より $x = \frac{2\sqrt{2} \pm \sqrt{(2\sqrt{2})^2 + 4}}{2} = \frac{2\sqrt{2} \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{2\sqrt{2} \pm 2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{2} \pm \sqrt{3}$

$x < 0$ より $x = \sqrt{2} - \sqrt{3}$

$\frac{1}{x} = \frac{1}{\sqrt{2} - \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{3}}{(\sqrt{2} - \sqrt{3})(\sqrt{2} + \sqrt{3})} = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{3}}{2 - 3} = -(\sqrt{2} + \sqrt{3})$

よって、$1 - \frac{1}{x} = 1 + \sqrt{2} + \sqrt{3}$

したがって、$(x - \frac{1}{x^2})(x^2 + \frac{1}{x}) = 22\sqrt{2} + 1 + \sqrt{2} + \sqrt{3} = 23\sqrt{2} + \sqrt{3} + 1$

(2)

$x + y = 5$

$x^3 + y^3 = 50$

$x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2) = (x + y)((x + y)^2 - 3xy)$

$50 = 5(5^2 - 3xy) = 5(25 - 3xy)$

$10 = 25 - 3xy$

$3xy = 15$

$xy = 5$

$x^2 + y^2 = (x + y)^2 - 2xy = 5^2 - 2 \times 5 = 25 - 10 = 15$

$x^5 + y^5 = (x^2 + y^2)(x^3 + y^3) - x^2y^2(x + y) = 15 \times 50 - 5^2 \times 5 = 750 - 125 = 625$

3. 最終的な答え

(1)

$x^2 + \frac{1}{x^2} = 10$

$x + \frac{1}{x} = -2\sqrt{3}$

$(x - \frac{1}{x^2})(x^2 + \frac{1}{x}) = 23\sqrt{2} + \sqrt{3} + 1$

(2)

$xy = 5$

$x^2 + y^2 = 15$

$x^5 + y^5 = 625$