与えられた4つの式を展開せよ。 (1) $(a-2b)(a^2 + 2ab + 4b^2)(a^3 + 8b^3)$ (2) $(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)$ (3) $(a+b+c)(a - b - c)(a-b+c)(a + b - c)$ (4) $(x - y + z)^3$

1. 問題の内容

与えられた4つの式を展開せよ。

(1) $(a-2b)(a^2 + 2ab + 4b^2)(a^3 + 8b^3)$

(2) $(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)$

(3) $(a+b+c)(a - b - c)(a-b+c)(a + b - c)$

(4) $(x - y + z)^3$

2. 解き方の手順

(1)

まず、$(a-2b)(a^2 + 2ab + 4b^2)$ を計算します。これは $a^3 - (2b)^3 = a^3 - 8b^3$ となります。

次に、$(a^3 - 8b^3)(a^3 + 8b^3)$ を計算します。これは $(a^3)^2 - (8b^3)^2 = a^6 - 64b^6$ となります。

(2)

まず、$(x+1)(x+4)$ を計算します。これは $x^2 + 5x + 4$ となります。

次に、$(x+2)(x+3)$ を計算します。これは $x^2 + 5x + 6$ となります。

最後に、$(x^2 + 5x + 4)(x^2 + 5x + 6)$ を計算します。$y = x^2 + 5x$ とおくと、$(y+4)(y+6) = y^2 + 10y + 24$ となります。

$y$ を元に戻すと、$(x^2 + 5x)^2 + 10(x^2 + 5x) + 24 = x^4 + 10x^3 + 25x^2 + 10x^2 + 50x + 24 = x^4 + 10x^3 + 35x^2 + 50x + 24$ となります。

(3)

まず、$(a+b+c)(a-b-c)$ を計算します。これは $a^2 - (b+c)^2 = a^2 - (b^2 + 2bc + c^2) = a^2 - b^2 - c^2 - 2bc$ となります。

次に、$(a-b+c)(a+b-c)$ を計算します。これは $a^2 - (b-c)^2 = a^2 - (b^2 - 2bc + c^2) = a^2 - b^2 - c^2 + 2bc$ となります。

最後に、$(a^2 - b^2 - c^2 - 2bc)(a^2 - b^2 - c^2 + 2bc)$ を計算します。$z = a^2 - b^2 - c^2$ とおくと、$(z - 2bc)(z + 2bc) = z^2 - (2bc)^2 = z^2 - 4b^2c^2$ となります。

$z$ を元に戻すと、$(a^2 - b^2 - c^2)^2 - 4b^2c^2 = (a^2 - (b^2 + c^2))^2 - 4b^2c^2 = a^4 - 2a^2(b^2+c^2) + (b^2+c^2)^2 - 4b^2c^2 = a^4 - 2a^2b^2 - 2a^2c^2 + b^4 + 2b^2c^2 + c^4 - 4b^2c^2 = a^4 + b^4 + c^4 - 2a^2b^2 - 2a^2c^2 - 2b^2c^2$ となります。

(4)

$(x-y+z)^3 = (x-y+z)(x-y+z)(x-y+z)$

まず、$(x-y+z)(x-y+z)$ を計算します。これは $(x-y+z)^2 = x^2 + y^2 + z^2 -2xy - 2yz + 2xz$ となります。

次に、$(x^2 + y^2 + z^2 -2xy - 2yz + 2xz)(x-y+z)$ を計算します。

$x^3 - x^2y + x^2z + xy^2 - y^3 + y^2z + xz^2 - yz^2 + z^3 -2x^2y + 2xy^2 - 2xyz -2xyz + 2y^2z - 2yz^2 + 2x^2z - 2xyz + 2xz^2$

$= x^3 - 3x^2y + 3x^2z + 3xy^2 - y^3 + 3y^2z + 3xz^2 - 3yz^2 + z^3 - 6xyz$

$= x^3 - y^3 + z^3 - 3x^2y + 3x^2z + 3xy^2 + 3y^2z + 3xz^2 - 3yz^2 - 6xyz$

$= x^3 - y^3 + z^3 + 3x^2(z-y) + 3y^2(x+z)+3z^2(x-y)-6xyz$

$= x^3 - y^3 + z^3 + 3x^2(z-y) + 3y(x-z) +3z^2(x-y) - 6xyz$

$= x^3 - y^3 + z^3 - 3x^2y + 3x^2z+3xy^2 -3y^2z+3xz^2 -3yz^2-6xyz$

3. 最終的な答え

(1) $a^6 - 64b^6$

(2) $x^4 + 10x^3 + 35x^2 + 50x + 24$

(3) $a^4 + b^4 + c^4 - 2a^2b^2 - 2a^2c^2 - 2b^2c^2$

(4) $x^3 - y^3 + z^3 - 3x^2y + 3x^2z + 3xy^2 -3y^2z+3xz^2 -3yz^2-6xyz$