与えられた問題は、以下の5つの小問から構成されています。 (1) 式 $(2x+3y)(3x-2y)-(2x-3y)(3x+2y)$ を展開し、整理した結果を求める。 (2) $15a^2-11a-14$ を因数分解した結果を求める。 (3) $(\sqrt{6}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-1)^2 + (\sqrt{6}-\sqrt{2})(\sqrt{3}+1)^2$ を簡単にした結果を求める。 (4) 連立不等式 $\begin{cases} \frac{x}{3} + 1 \le \frac{x}{6} + 2 \\ \frac{x-1}{3} - \frac{x+1}{2} < 1 \end{cases}$ の解を求める。 (5) 方程式 $|2-5x|=1$ の解を求める。

1. 問題の内容

与えられた問題は、以下の5つの小問から構成されています。

(1) 式 $(2x+3y)(3x-2y)-(2x-3y)(3x+2y)$ を展開し、整理した結果を求める。

(2) $15a^2-11a-14$ を因数分解した結果を求める。

(3) $(\sqrt{6}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-1)^2 + (\sqrt{6}-\sqrt{2})(\sqrt{3}+1)^2$ を簡単にした結果を求める。

(4) 連立不等式

$\begin{cases} \frac{x}{3} + 1 \le \frac{x}{6} + 2 \\ \frac{x-1}{3} - \frac{x+1}{2} < 1 \end{cases}$

の解を求める。

(5) 方程式 $|2-5x|=1$ の解を求める。

2. 解き方の手順

(1) $(2x+3y)(3x-2y) = 6x^2 + 5xy - 6y^2$

$(2x-3y)(3x+2y) = 6x^2 - 5xy - 6y^2$

したがって、

$(2x+3y)(3x-2y)-(2x-3y)(3x+2y) = (6x^2 + 5xy - 6y^2) - (6x^2 - 5xy - 6y^2) = 10xy$

(2) $15a^2-11a-14$ を因数分解する。

$15a^2-11a-14 = (3a+2)(5a-7)$

(3) $(\sqrt{6}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-1)^2 + (\sqrt{6}-\sqrt{2})(\sqrt{3}+1)^2$

$= (\sqrt{6}+\sqrt{2})(3 - 2\sqrt{3} + 1) + (\sqrt{6}-\sqrt{2})(3 + 2\sqrt{3} + 1)$

$= (\sqrt{6}+\sqrt{2})(4 - 2\sqrt{3}) + (\sqrt{6}-\sqrt{2})(4 + 2\sqrt{3})$

$= 4\sqrt{6} - 2\sqrt{18} + 4\sqrt{2} - 2\sqrt{6} + 4\sqrt{6} + 2\sqrt{18} - 4\sqrt{2} - 2\sqrt{6}$

$= (4\sqrt{6} - 2\sqrt{6} + 4\sqrt{6} - 2\sqrt{6}) + (-2\sqrt{18} + 2\sqrt{18}) + (4\sqrt{2} - 4\sqrt{2})$

$= 4\sqrt{6}$

(4) 連立不等式を解く。

$\begin{cases} \frac{x}{3} + 1 \le \frac{x}{6} + 2 \\ \frac{x-1}{3} - \frac{x+1}{2} < 1 \end{cases}$

$\begin{cases} 2x + 6 \le x + 12 \\ 2(x-1) - 3(x+1) < 6 \end{cases}$

$\begin{cases} x \le 6 \\ 2x - 2 - 3x - 3 < 6 \end{cases}$

$\begin{cases} x \le 6 \\ -x - 5 < 6 \end{cases}$

$\begin{cases} x \le 6 \\ -x < 11 \end{cases}$

$\begin{cases} x \le 6 \\ x > -11 \end{cases}$

したがって、$-11 < x \le 6$

(5) $|2-5x|=1$ を解く。

$2-5x = 1$ または $2-5x = -1$

$2-1 = 5x$ または $2+1 = 5x$

$1 = 5x$ または $3 = 5x$

$x = \frac{1}{5}$ または $x = \frac{3}{5}$

3. 最終的な答え

(1) $10xy$

(2) $(3a+2)(5a-7)$

(3) $4\sqrt{6}$

(4) $-11 < x \le 6$

(5) $x = \frac{1}{5}, \frac{3}{5}$