与えられた行列 $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 5 & 3 \end{pmatrix}$, ベクトル $b = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}$, $x = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ に対して、以下の問題を解きます。 (1) 連立一次方程式 $2x + y = 3$, $5x + 3y = 1$ を $A, b, x$ を用いた数式で表す。 (2) 解 $x$ を $b, A^{-1}$ を用いた数式で表す。 (3) $A^{-1} = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -5 & 2 \end{pmatrix}$ であるとき、(2)を用いて、$x$を求める。

1. 問題の内容

与えられた行列 $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 5 & 3 \end{pmatrix}$, ベクトル $b = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}$, $x = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ に対して、以下の問題を解きます。

(1) 連立一次方程式 $2x + y = 3$, $5x + 3y = 1$ を $A, b, x$ を用いた数式で表す。

(2) 解 $x$ を $b, A^{-1}$ を用いた数式で表す。

(3) $A^{-1} = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -5 & 2 \end{pmatrix}$ であるとき、(2)を用いて、$x$を求める。

2. 解き方の手順

(1) 連立一次方程式を行列で表すと、

$Ax = b$

となります。これは、

$\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 5 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}$

を意味します。

(2) $Ax = b$ の両辺に左から $A^{-1}$ をかけると、

$A^{-1}Ax = A^{-1}b$

$Ix = A^{-1}b$

$x = A^{-1}b$

となります。

(3) (2)で求めた $x = A^{-1}b$ に、$A^{-1} = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -5 & 2 \end{pmatrix}$ と $b = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}$ を代入して、$x$ を計算します。

$x = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -5 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \times 3 + (-1) \times 1 \\ -5 \times 3 + 2 \times 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 9 - 1 \\ -15 + 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 \\ -13 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

(1) $Ax = b$

(2) $x = A^{-1}b$

(3) $x = \begin{pmatrix} 8 \\ -13 \end{pmatrix}$