問題は、与えられた複素数を極形式で表すことです。具体的には、以下の3つの複素数について極形式を求めます。 (1) $z = \frac{1}{2}$ (2) $z = \frac{1-i}{1+i}$ (3) $z = -4(\cos(\frac{\pi}{6}) + i\sin(\frac{\pi}{6}))$

1. 問題の内容

問題は、与えられた複素数を極形式で表すことです。具体的には、以下の3つの複素数について極形式を求めます。

(1) $z = \frac{1}{2}$

(2) $z = \frac{1-i}{1+i}$

(3) $z = -4(\cos(\frac{\pi}{6}) + i\sin(\frac{\pi}{6}))$

2. 解き方の手順

(1) $z = \frac{1}{2}$ の場合:

この複素数は実数なので、偏角は0です。絶対値は$\frac{1}{2}$です。したがって、

$z = \frac{1}{2}(\cos(0) + i\sin(0))$

(2) $z = \frac{1-i}{1+i}$ の場合:

まず、分母を実数化するために、分子と分母に$1-i$をかけます。

$z = \frac{(1-i)(1-i)}{(1+i)(1-i)} = \frac{1 - 2i + i^2}{1 - i^2} = \frac{1 - 2i - 1}{1 - (-1)} = \frac{-2i}{2} = -i$

この複素数は純虚数なので、偏角は$-\frac{\pi}{2}$です。絶対値は1です。したがって、

$z = 1(\cos(-\frac{\pi}{2}) + i\sin(-\frac{\pi}{2}))$

もしくは

$z = 1(\cos(\frac{3\pi}{2}) + i\sin(\frac{3\pi}{2}))$

(3) $z = -4(\cos(\frac{\pi}{6}) + i\sin(\frac{\pi}{6}))$ の場合:

$z = -4(\cos(\frac{\pi}{6}) + i\sin(\frac{\pi}{6})) = 4(-\cos(\frac{\pi}{6}) - i\sin(\frac{\pi}{6}))$.

ここで、$-\cos(\theta) = \cos(\theta + \pi)$と$-\sin(\theta) = \sin(\theta + \pi)$の関係を利用すると、

$z = 4(\cos(\frac{\pi}{6} + \pi) + i\sin(\frac{\pi}{6} + \pi)) = 4(\cos(\frac{7\pi}{6}) + i\sin(\frac{7\pi}{6}))$

3. 最終的な答え

(1) $z = \frac{1}{2}(\cos(0) + i\sin(0))$

(2) $z = 1(\cos(-\frac{\pi}{2}) + i\sin(-\frac{\pi}{2}))$ または $z = 1(\cos(\frac{3\pi}{2}) + i\sin(\frac{3\pi}{2}))$

(3) $z = 4(\cos(\frac{7\pi}{6}) + i\sin(\frac{7\pi}{6}))$