初項から第3項までの和が13、初項から第6項までの和が364である等比数列 $\{a_n\}$ の一般項 $a_n$ を求めよ。ただし、公比は実数とする。

1. 問題の内容

初項から第3項までの和が13、初項から第6項までの和が364である等比数列 $\{a_n\}$ の一般項 $a_n$ を求めよ。ただし、公比は実数とする。

2. 解き方の手順

等比数列の初項を $a$、公比を $r$ とすると、初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ は、 $r \neq 1$ のとき

$S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r}$ で表される。

問題文より、

$S_3 = \frac{a(1-r^3)}{1-r} = 13$

$S_6 = \frac{a(1-r^6)}{1-r} = 364$

$S_6$ を $S_3$ で割ると、

$\frac{S_6}{S_3} = \frac{\frac{a(1-r^6)}{1-r}}{\frac{a(1-r^3)}{1-r}} = \frac{1-r^6}{1-r^3} = \frac{(1-r^3)(1+r^3)}{1-r^3} = 1+r^3 = \frac{364}{13} = 28$

$1+r^3 = 28$ より $r^3 = 27$ となる。

公比 $r$ は実数なので、$r = 3$ となる。

$S_3 = \frac{a(1-r^3)}{1-r} = \frac{a(1-3^3)}{1-3} = \frac{a(1-27)}{-2} = \frac{-26a}{-2} = 13a = 13$

よって $a = 1$ となる。

したがって、一般項 $a_n$ は

$a_n = a r^{n-1} = 1 \cdot 3^{n-1} = 3^{n-1}$

3. 最終的な答え

$a_n = 3^{n-1}$