$\theta$が鈍角で、$\sin\theta \cos\theta = -\frac{1}{4}$ が成り立つとき、$\sin\theta - \cos\theta$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

$\theta$が鈍角で、$\sin\theta \cos\theta = -\frac{1}{4}$ が成り立つとき、$\sin\theta - \cos\theta$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

$\sin\theta - \cos\theta$ の値を求めるために、まず $(\sin\theta - \cos\theta)^2$ を計算します。

$(\sin\theta - \cos\theta)^2 = \sin^2\theta - 2\sin\theta\cos\theta + \cos^2\theta$

三角関数の基本的な恒等式 $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ を用いると、

$(\sin\theta - \cos\theta)^2 = 1 - 2\sin\theta\cos\theta$

問題文より $\sin\theta\cos\theta = -\frac{1}{4}$ なので、これを代入すると、

$(\sin\theta - \cos\theta)^2 = 1 - 2\left(-\frac{1}{4}\right) = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$

したがって、$\sin\theta - \cos\theta = \pm\sqrt{\frac{3}{2}} = \pm\frac{\sqrt{6}}{2}$ となります。

$\theta$が鈍角なので、$\frac{\pi}{2} < \theta < \pi$ です。

このとき、$\sin\theta > 0$ であり、$\cos\theta < 0$ です。

したがって、$\sin\theta - \cos\theta > 0$ となります。

よって、$\sin\theta - \cos\theta = \frac{\sqrt{6}}{2}$ が答えとなります。

3. 最終的な答え

$\frac{\sqrt{6}}{2}$