$k$ を定数とする。直線 $(k+2)x + (2k-3)y = 5k-4$ は、$k$ の値に関係なく定点を通る。その定点の座標を求めよ。

1. 問題の内容

$k$ を定数とする。直線 $(k+2)x + (2k-3)y = 5k-4$ は、$k$ の値に関係なく定点を通る。その定点の座標を求めよ。

2. 解き方の手順

与えられた式を $k$ について整理します。

$(k+2)x + (2k-3)y = 5k-4$

$kx + 2x + 2ky - 3y = 5k - 4$

$kx + 2ky - 5k = -2x + 3y - 4$

$k(x+2y-5) = -2x + 3y - 4$

この式が、$k$ の値に関わらず成立するためには、以下の2つの式が同時に成り立つ必要があります。

$x+2y-5 = 0$

$-2x + 3y - 4 = 0$

この連立方程式を解きます。

1つ目の式から、$x = -2y+5$ を得ます。これを2つ目の式に代入します。

$-2(-2y+5) + 3y - 4 = 0$

$4y - 10 + 3y - 4 = 0$

$7y = 14$

$y = 2$

$y=2$ を $x = -2y+5$ に代入すると、

$x = -2(2) + 5 = -4 + 5 = 1$

したがって、定点の座標は $(1,2)$ となります。

3. 最終的な答え

(1, 2)