$\sqrt{2}$が無理数であることを用いて、$1+3\sqrt{2}$が無理数であることを背理法で証明する。

1. 問題の内容

$\sqrt{2}$が無理数であることを用いて、$1+3\sqrt{2}$が無理数であることを背理法で証明する。

2. 解き方の手順

* 背理法を用いるので、$1+3\sqrt{2}$が無理数でない、つまり、$1+3\sqrt{2}$は有理数であると仮定する。

* $1+3\sqrt{2} = r$ とおく。ここで、$r$は有理数である。

* $3\sqrt{2} = r - 1$

* $\sqrt{2} = \frac{r-1}{3}$

* $r$は有理数なので、$r-1$も有理数であり、$\frac{r-1}{3}$も有理数である。

* これは、$\sqrt{2}$が無理数であるという仮定に矛盾する。

* したがって、$1+3\sqrt{2}$は無理数である。

3. 最終的な答え

$1+3\sqrt{2}$は無理数である。