10個の白球と20個の赤球が入った袋から、1個ずつ球を取り出す試行を繰り返します。取り出した球は元に戻しません。 (1) 5回取り出したとき、白球が2個、赤球が3個取り出されている確率を求めます。 (2) $4 \le n \le 24$ のとき、ちょうど $n$ 回目に4個目の白玉が取り出される確率 $p_n$ を求めます。 (3) $p_n$ が最大となる $n$ の値を求めます。 (4) 白球の方が早く袋からなくなる確率を求めます。

はい、承知いたしました。問題文を読み解き、順番に解答します。

1. 問題の内容

10個の白球と20個の赤球が入った袋から、1個ずつ球を取り出す試行を繰り返します。取り出した球は元に戻しません。

(1) 5回取り出したとき、白球が2個、赤球が3個取り出されている確率を求めます。

(2) $4 \le n \le 24$ のとき、ちょうど $n$ 回目に4個目の白玉が取り出される確率 $p_n$ を求めます。

(3) $p_n$ が最大となる $n$ の値を求めます。

(4) 白球の方が早く袋からなくなる確率を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 5回取り出して白球2個、赤球3個となる確率

5回のうち白球を取り出す2回を選ぶ組み合わせは $_{5}C_{2}$ 通り。

1回目は30個の中から10個の白球を選ぶので確率は $\frac{10}{30}$ 。

2回目は29個の中から9個の白球を選ぶので確率は $\frac{9}{29}$ 。

3回目は28個の中から20個の赤球を選ぶので確率は $\frac{20}{28}$ 。

4回目は27個の中から19個の赤球を選ぶので確率は $\frac{19}{27}$ 。

5回目は26個の中から18個の赤球を選ぶので確率は $\frac{18}{26}$ 。

したがって、確率は

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_{5}C_{2} \times \frac{10}{30} \times \frac{9}{29} \times \frac{20}{28} \times \frac{19}{27} \times \frac{18}{26} = 10 \times \frac{10 \cdot 9 \cdot 20 \cdot 19 \cdot 18}{30 \cdot 29 \cdot 28 \cdot 27 \cdot 26} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 20 \cdot 19 \cdot 18}{3 \cdot 29 \cdot 28 \cdot 27 \cdot 26} = \frac{950}{8517}

$$$$

(2) $n$ 回目に4個目の白玉が出る確率 $p_n$

$n-1$ 回までに白玉が3個、赤玉が $n-4$ 個出ている必要があります。

$n-1$ 回の試行で白玉3個、赤玉 $n-4$ 個を取り出す確率は

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_{n-1}C_{3} \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 20 \cdot 19 \cdot \cdots \cdot (20-(n-4)+1)}{30 \cdot 29 \cdot 28 \cdot \cdots \cdot (30-(n-1)+1)}

$$$$

$n$ 回目に白玉を取り出す確率は $\frac{10-3}{30-(n-1)} = \frac{7}{31-n}$

したがって

$$$$

p_n = \frac{_{n-1}C_{3} \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 20 \cdot 19 \cdot \cdots \cdot (25-n)}{30 \cdot 29 \cdot 28 \cdot \cdots \cdot (32-n)} \times \frac{7}{31-n}

$$$$

少し整理します。まず、分母分子に $(3-3)! \cdot (n-4)!$をかけます。

$$$$

p_n = \frac{\frac{(n-1)!}{3!(n-4)!} \cdot \frac{10!}{(10-3)!} \frac{20!}{(20-(n-4))!}}{\frac{30!}{(30-n+1)!}} \times \frac{7}{31-n} = \frac{\frac{(n-1)!}{6(n-4)!} \cdot \frac{10!}{7!} \frac{20!}{(24-n)!}}{\frac{30!}{(31-n)!}} \times \frac{7}{31-n} = \frac{(n-1)! 10! 20! (31-n)! 7}{6(n-4)! 7! (24-n)! 30! (31-n)}

$$$$

$$$$

p_n = \frac{ (n-1)! 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 20! (31-n)! }{6 (n-4)! 20! 30!} \times \frac{7}{31-n} = \frac{(n-1)(n-2)(n-3) 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{6 \cdot 30!} \times \frac{20!}{(24-n)! }

$$$$

$$$$

p_n = \frac{(n-1)(n-2)(n-3)}{6} \times \frac{7 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8}{ \frac{30!}{10!20!} (31-n) }

$$$$

$$$$

p_n = \frac{84(n-1)(n-2)(n-3)(31-n)}{(30 \cdot 29 \cdot 28 \cdot \cdots \cdot 21)}

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(3) $p_n$ が最大となる $n$ の値

$\frac{p_{n+1}}{p_n}$ を考えます。

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\frac{p_{n+1}}{p_n} = \frac{\frac{(n)(n-1)(n-2) \cdot 7}{31-(n+1)}}{\frac{(n-1)(n-2)(n-3) \cdot 7}{31-n}} = \frac{n(31-n)}{(n-3)(30-n)}

$$$$

$\frac{p_{n+1}}{p_n} > 1$ となる $n$ を求める。

$n(31-n) > (n-3)(30-n)$

$31n-n^2 > 30n - n^2 - 90 + 3n$

$31n > 33n - 90$

$90 > 2n$

$n < 45$

$\frac{p_{n+1}}{p_n} > 1$ となる $n$ は、$n<45$ となります。$4 \le n \le 24$より、 $\frac{p_{n+1}}{p_n} > 1$ となる最大の $n$ を求めます。

$n$が大きくなるほど$p_n$が大きくなるので、最大となる$n$は$n=12$になります。

(4) 白球の方が早くなくなる確率

白球がなくなるのは、10個すべて取り出されたときです。

つまり、30個の球を取り出すとき、最後の球が白球である確率を求めればよい。

白球が10個、赤球が20個なので、最後に白球である確率は $\frac{10}{30} = \frac{1}{3}$。

3. 最終的な答え

(1) $\frac{950}{8517}$

(2) $p_n = \frac{84(n-1)(n-2)(n-3)(31-n)}{(30 \cdot 29 \cdot 28 \cdot \cdots \cdot 21)}$

(3) $n = 12$

(4) $\frac{1}{3}$