4つの確率の問題があります。 (1) 大小2つのサイコロを投げたとき、目の和が8になる確率。 (2) 52枚のトランプから1枚ずつ2回引くとき、少なくとも1回はハートを引く確率（ただし、1回目に引いたカードは元に戻す）。 (3) 赤玉7個、白玉5個が入った袋から3個の玉を同時に取り出すとき、赤玉2個、白玉1個となる確率。 (4) 7本のくじの中に3本あたりがあるとき、3番目の人が当たりを引く確率。

1. 問題の内容

4つの確率の問題があります。

(1) 大小2つのサイコロを投げたとき、目の和が8になる確率。

(2) 52枚のトランプから1枚ずつ2回引くとき、少なくとも1回はハートを引く確率（ただし、1回目に引いたカードは元に戻す）。

(3) 赤玉7個、白玉5個が入った袋から3個の玉を同時に取り出すとき、赤玉2個、白玉1個となる確率。

(4) 7本のくじの中に3本あたりがあるとき、3番目の人が当たりを引く確率。

2. 解き方の手順

(1) 大小2個のサイコロの目の和が8になるのは、

(2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2)の5通り。

サイコロの目の出方は全部で36通りなので、確率は$\frac{5}{36}$

(2) 少なくとも1回ハートを引く確率を求める。

1回もハートを引かない確率を求めて、それを1から引く方法で計算する。

1回目にハートを引かない確率は$\frac{39}{52} = \frac{3}{4}$

2回目にハートを引かない確率は$\frac{39}{52} = \frac{3}{4}$

2回ともハートを引かない確率は$\frac{3}{4} \times \frac{3}{4} = \frac{9}{16}$

少なくとも1回ハートを引く確率は$1 - \frac{9}{16} = \frac{7}{16}$

(3) 赤玉7個、白玉5個から3個取り出す方法は全部で${}_{12}C_3 = \frac{12 \times 11 \times 10}{3 \times 2 \times 1} = 220$通り。

赤玉2個、白玉1個を取り出す方法は${}_{7}C_2 \times {}_{5}C_1 = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} \times 5 = 21 \times 5 = 105$通り。

確率は$\frac{105}{220} = \frac{21}{44}$

(4) 3番目の人が当たりを引く確率を求める。

3番目の人が当たりを引く確率は、誰が何番目に引いても当たりを引く確率は等しいので、3/7となる。

これは、当たりを3本、はずれを4本並べた時に、3番目が当たりである確率に等しい。

別の解き方としては、3番目に当たる場合を全て列挙する。

1番目が当たり、2番目が当たり、3番目が当たりの場合：$\frac{3}{7} \times \frac{2}{6} \times \frac{1}{5} = \frac{6}{210}$

1番目が当たり、2番目が外れ、3番目が当たりの場合：$\frac{3}{7} \times \frac{4}{6} \times \frac{2}{5} = \frac{24}{210}$

1番目が外れ、2番目が当たり、3番目が当たりの場合：$\frac{4}{7} \times \frac{3}{6} \times \frac{2}{5} = \frac{24}{210}$

1番目が外れ、2番目が外れ、3番目が当たりの場合：$\frac{4}{7} \times \frac{3}{6} \times \frac{3}{5} = \frac{36}{210}$

合計は$\frac{6+24+24+36}{210} = \frac{90}{210} = \frac{3}{7}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{5}{36}$

(2) $\frac{7}{16}$

(3) $\frac{21}{44}$

(4) $\frac{3}{7}$