確率変数 $X$ は $1, 2, 3, 4, 5, 6$ のいずれかの値を取り、$X=1$ となる確率が $x$、$X=2$ となる確率が $y$ である。$X$ の確率分布が表で与えられており、$X$ の期待値が 4 であるとき、$X$ の分散を求める問題。

1. 問題の内容

確率変数 $X$ は $1, 2, 3, 4, 5, 6$ のいずれかの値を取り、$X=1$ となる確率が $x$、$X=2$ となる確率が $y$ である。$X$ の確率分布が表で与えられており、$X$ の期待値が 4 であるとき、$X$ の分散を求める問題。

2. 解き方の手順

まず、確率の合計が 1 であることから、次の式が成り立つ。

$x + y + 2x + y + 4x + y + 2x = 1$

これを整理すると、

$9x + 3y = 1$

次に、期待値が 4 であることから、次の式が成り立つ。

$1 \cdot x + 2 \cdot y + 3 \cdot 2x + 4 \cdot y + 5 \cdot (4x + y) + 6 \cdot 2x = 4$

これを整理すると、

$x + 2y + 6x + 4y + 20x + 5y + 12x = 4$

$39x + 11y = 4$

連立方程式を解く。

$9x + 3y = 1$ (1)

$39x + 11y = 4$ (2)

(1) $\times 11$ - (2) $\times 3$ より、

$99x + 33y - (117x + 33y) = 11 - 12$

$-18x = -1$

$x = \frac{1}{18}$

これを(1)に代入して、

$9 \cdot \frac{1}{18} + 3y = 1$

$\frac{1}{2} + 3y = 1$

$3y = \frac{1}{2}$

$y = \frac{1}{6}$

次に、$E[X^2]$ を計算する。

$E[X^2] = 1^2 \cdot x + 2^2 \cdot y + 3^2 \cdot 2x + 4^2 \cdot y + 5^2 \cdot (4x+y) + 6^2 \cdot 2x$

$= x + 4y + 18x + 16y + 25(4x+y) + 72x$

$= x + 4y + 18x + 16y + 100x + 25y + 72x$

$= 191x + 45y$

$x = \frac{1}{18}, y = \frac{1}{6}$ を代入して、

$E[X^2] = 191 \cdot \frac{1}{18} + 45 \cdot \frac{1}{6} = \frac{191}{18} + \frac{135}{18} = \frac{326}{18} = \frac{163}{9}$

分散 $V[X] = E[X^2] - (E[X])^2 = E[X^2] - 4^2 = \frac{163}{9} - 16 = \frac{163}{9} - \frac{144}{9} = \frac{19}{9}$

3. 最終的な答え

$\frac{19}{9}$