与えられた行列の固有値と固有ベクトルを求める問題です。 (1) $ \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 5 & 4 \end{pmatrix} $ (2) $ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 4 \\ 2 & -2 & 2 \\ 4 & 2 & 1 \end{pmatrix} $

1. 問題の内容

与えられた行列の固有値と固有ベクトルを求める問題です。

(1) $\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 5 & 4 \end{pmatrix}$

(2) $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 4 \\ 2 & -2 & 2 \\ 4 & 2 & 1 \end{pmatrix}$

2. 解き方の手順

(1) 行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 5 & 4 \end{pmatrix}$ の固有値と固有ベクトルを求めます。

まず、固有方程式を解いて固有値を求めます。固有方程式は $det(A - \lambda I) = 0$ で与えられます。ここで、$I$ は単位行列、$\lambda$ は固有値を表します。

$det \begin{pmatrix} 1-\lambda & 2 \\ 5 & 4-\lambda \end{pmatrix} = (1-\lambda)(4-\lambda) - (2)(5) = 0$

$4 - \lambda - 4\lambda + \lambda^2 - 10 = 0$

$\lambda^2 - 5\lambda - 6 = 0$

$(\lambda - 6)(\lambda + 1) = 0$

よって、固有値は $\lambda_1 = 6$ と $\lambda_2 = -1$ です。

次に、それぞれの固有値に対する固有ベクトルを求めます。

$\lambda_1 = 6$ のとき、$(A - 6I)v_1 = 0$ を満たすベクトル $v_1$ を求めます。

$\begin{pmatrix} 1-6 & 2 \\ 5 & 4-6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} -5 & 2 \\ 5 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$-5x + 2y = 0$ より、$y = \frac{5}{2}x$ 。

$v_1 = \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \end{pmatrix}$ （例えば、$x = 2$ の場合）

$\lambda_2 = -1$ のとき、$(A - (-1)I)v_2 = 0$ を満たすベクトル $v_2$ を求めます。

$\begin{pmatrix} 1+1 & 2 \\ 5 & 4+1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 5 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$2x + 2y = 0$ より、$y = -x$。

$v_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$ （例えば、$x = 1$ の場合）

(2) 行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 4 \\ 2 & -2 & 2 \\ 4 & 2 & 1 \end{pmatrix}$ の固有値と固有ベクトルを求めます。

まず、固有方程式を解いて固有値を求めます。固有方程式は $det(A - \lambda I) = 0$ で与えられます。

$det \begin{pmatrix} 1-\lambda & 2 & 4 \\ 2 & -2-\lambda & 2 \\ 4 & 2 & 1-\lambda \end{pmatrix} = 0$

$(1-\lambda)((-2-\lambda)(1-\lambda) - 4) - 2(2(1-\lambda) - 8) + 4(4 - 4(-2-\lambda)) = 0$

$(1-\lambda)(-2 + 2\lambda - \lambda + \lambda^2 - 4) - 2(2 - 2\lambda - 8) + 4(4 + 8 + 4\lambda) = 0$

$(1-\lambda)(\lambda^2 + \lambda - 6) - 2(-6 - 2\lambda) + 4(12 + 4\lambda) = 0$

$\lambda^2 + \lambda - 6 - \lambda^3 - \lambda^2 + 6\lambda + 12 + 4\lambda + 48 + 16\lambda = 0$

$-\lambda^3 + 27\lambda + 54 = 0$

$\lambda^3 - 27\lambda - 54 = 0$

$(\lambda + 3)(\lambda^2 - 3\lambda - 18) = 0$

$(\lambda + 3)(\lambda - 6)(\lambda + 3) = 0$

$(\lambda+3)^2(\lambda - 6) = 0$

よって、固有値は $\lambda_1 = 6$ と $\lambda_2 = -3$ (重複度2) です。

$\lambda_1 = 6$ のとき、$(A - 6I)v_1 = 0$ を満たすベクトル $v_1$ を求めます。

$\begin{pmatrix} 1-6 & 2 & 4 \\ 2 & -2-6 & 2 \\ 4 & 2 & 1-6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} -5 & 2 & 4 \\ 2 & -8 & 2 \\ 4 & 2 & -5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$-5x + 2y + 4z = 0$

$2x - 8y + 2z = 0$

$4x + 2y - 5z = 0$

簡約化すると

$x = z$

$y = z/2$

よって、$v_1 = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}$

$\lambda_2 = -3$ のとき、$(A - (-3)I)v_2 = 0$ を満たすベクトル $v_2$ を求めます。

$\begin{pmatrix} 1+3 & 2 & 4 \\ 2 & -2+3 & 2 \\ 4 & 2 & 1+3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} 4 & 2 & 4 \\ 2 & 1 & 2 \\ 4 & 2 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$4x + 2y + 4z = 0$

$2x + y + 2z = 0$

$y = -2x - 2z$

$v_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix}$, $v_3 = \begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

(1)

固有値: $\lambda_1 = 6$, $\lambda_2 = -1$

固有ベクトル: $v_1 = \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \end{pmatrix}$, $v_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$

(2)

固有値: $\lambda_1 = 6$, $\lambda_2 = -3$ (重複度2)

固有ベクトル: $v_1 = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}$, $v_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix}$, $v_3 = \begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}$