画像に示された二つの関数について、グラフを描くための準備として、式を場合分けして整理することを考えます。 (2) $y = |x^2 - 2x - 3|$ (3) $y = x^2 - 2|x|$

1. 問題の内容

画像に示された二つの関数について、グラフを描くための準備として、式を場合分けして整理することを考えます。

(2) $y = |x^2 - 2x - 3|$

(3) $y = x^2 - 2|x|$

2. 解き方の手順

(2) $y = |x^2 - 2x - 3|$ の場合：

まず、$x^2 - 2x - 3$ を因数分解します。

$x^2 - 2x - 3 = (x - 3)(x + 1)$

よって、$x^2 - 2x - 3 = 0$ となるのは、$x = 3$ または $x = -1$ のときです。

したがって、場合分けは以下のようになります。

* $x < -1$ または $x > 3$ のとき、$x^2 - 2x - 3 > 0$ なので、$y = x^2 - 2x - 3$

* $-1 \le x \le 3$ のとき、$x^2 - 2x - 3 \le 0$ なので、$y = -(x^2 - 2x - 3) = -x^2 + 2x + 3$

(3) $y = x^2 - 2|x|$ の場合：

絶対値 $|x|$ を場合分けします。

* $x \ge 0$ のとき、$|x| = x$ なので、$y = x^2 - 2x$

* $x < 0$ のとき、$|x| = -x$ なので、$y = x^2 - 2(-x) = x^2 + 2x$

3. 最終的な答え

(2)

$x < -1$ または $x > 3$ のとき、$y = x^2 - 2x - 3$

$-1 \le x \le 3$ のとき、$y = -x^2 + 2x + 3$

(3)

$x \ge 0$ のとき、$y = x^2 - 2x$

$x < 0$ のとき、$y = x^2 + 2x$