この問題は、いくつかの小問から構成されています。 (1) $3x^2 - 2xy - y^2$ を因数分解する。 (2) 実数 $x$ について、$|x| < 1$ が $x > -2$ であるための条件を4択から選ぶ。 (3) 直角三角形ABCにおいて、AC = 5, BC = 12, ∠C = 90°, ∠A = θであるとき、$tanθ$ と $sinθ$ を求める。 (4) 大人5人、子供4人から3人を選ぶとき、3人全てが大人となる選び方と、大人も子供も含まれる選び方の数を求める。 (5) 7つのデータ 7, 9, 12, 22, 34, a-15, a+1 の中央値が16であるとき、$a$ の値を求め、このデータの四分位範囲を求める。

1. 問題の内容

この問題は、いくつかの小問から構成されています。

(1) $3x^2 - 2xy - y^2$ を因数分解する。

(2) 実数 $x$ について、$|x| < 1$ が $x > -2$ であるための条件を4択から選ぶ。

(3) 直角三角形ABCにおいて、AC = 5, BC = 12, ∠C = 90°, ∠A = θであるとき、$tanθ$ と $sinθ$ を求める。

(4) 大人5人、子供4人から3人を選ぶとき、3人全てが大人となる選び方と、大人も子供も含まれる選び方の数を求める。

(5) 7つのデータ 7, 9, 12, 22, 34, a-15, a+1 の中央値が16であるとき、$a$ の値を求め、このデータの四分位範囲を求める。

2. 解き方の手順

(1) $3x^2 - 2xy - y^2$ を因数分解する。

$3x^2 - 2xy - y^2 = (3x + y)(x - y)$

(2) $|x| < 1$ すなわち $-1 < x < 1$ が、$x > -2$ であるための条件を考える。

$-1 < x < 1$ ならば $x > -2$ は成り立つので、$|x| < 1$ は $x > -2$ であるための十分条件である。

しかし、$x = -1.5$ のとき $x > -2$ は成り立つが、$|x| < 1$ は成り立たないので、$|x| < 1$ は $x > -2$ であるための必要条件ではない。

したがって、正解は

3. 十分条件であるが、必要条件ではない。

(3) 直角三角形ABCにおいて、AC = 5, BC = 12, ∠C = 90°, ∠A = θである。

$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$

$tanθ = \frac{BC}{AC} = \frac{12}{5}$

$sinθ = \frac{BC}{AB} = \frac{12}{13}$

(4) 大人5人、子供4人から3人を選ぶ。

3人全てが大人となる選び方は、$_5C_3 = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4}{2} = 10$ 通り。

3人の選び方の総数は、$_9C_3 = \frac{9!}{3!6!} = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 3 \times 4 \times 7 = 84$ 通り。

大人も子供も含まれる選び方は、選び方の総数から3人とも大人になる選び方を引けばよいので、$84 - 10 = 74$ 通り。

(5) データ 7, 9, 12, 22, 34, a-15, a+1 の中央値が16である。

まず、データを小さい順に並べる。$a-15 < a+1$ であることだけは確定している。

もし、$a - 15 < 16 < a + 1$ ならば、中央値は並び替えた数列の中央に位置する。

$a-15 < a+1$ より、7個のデータを並び替えたとき、小さい方から4番目の値が中央値となる。

したがって、$a - 15, a + 1$ の大小関係によって場合分けが必要になる。

もし $a-15 < a+1 < 22$ ならば、データは 7, 9, 12, a-15, a+1, 22, 34 と並び替えられ、中央値は a-15 となるが、a-15=16 を解くと a=31 となり、これは a+1 < 22 を満たさない。

同様に考えると、7, 9, 12, 22, 34, a-15, a+1 の中央値が16になるのは、a-15 と a+1 が 12 と 22 の間に入っている時である。

例えば、並び替えた結果が 7, 9, 12, a+1, 22, 34, a-15 だったとしたら中央値は a+1 になり、7, 9, 12, a-15, 22, 34, a+1 だったとしたら中央値は a-15 になる。

ここで a-15, a+1 以外の値の並び順は 7, 9, 12, 22, 34 で確定していることを利用する。

7個のデータを小さい順に並べたとき、4番目の値が16になれば良い。

a=20とすると、a-15=5, a+1=21であり、データは5, 7, 9, 12, 21, 22, 34 となるため、中央値は12となり、不適切。

a=17とすると、a-15=2, a+1=18であり、データは2, 7, 9, 12, 18, 22, 34 となるため、中央値は12となり、不適切。

a=16とすると、a-15=1, a+1=17であり、データは1, 7, 9, 12, 17, 22, 34 となるため、中央値は12となり、不適切。

7, 9, 12, 22, 34, a-15, a+1 を小さい順に並べると、7つの値の中央値は4番目の値となる。

したがって、$a - 15 < 16 < a + 1$ となる必要がある。

$a = 21$のとき、$a - 15 = 6$、$a + 1 = 22$ なので、データは 6, 7, 9, 12, 22, 22, 34 となり、中央値は12。

並び替えた後のデータは 7, 9, 12, 16, 22, 34, a-15, a+1 の並びになる。

なので、a-15, a+1 のどちらかが 12 より小さく、もう片方が 22 より大きい必要がある。

また中央値が 16 なので $a = 21$

データは $7, 9, 12, 22, 34, 6, 22$ となる。これをソートすると $6, 7, 9, 12, 22, 22, 34$ となり、中央値は12となり矛盾。

a-15 と a+1 の平均が16になるという仮定をすると、(a-15+a+1)/2=16 より 2a-14=32 なので 2a=46 となり a=23 となる。

このとき a-15=8、a+1=24。データは 7, 9, 12, 22, 34, 8, 24 。ソートすると 7, 8, 9, 12, 22, 24, 34。

中央値は 12 となる。

aが整数であるという条件はないので、a=16とした場合、データは、7,9,12,22,34,1,17 となり、ソートすると 1,7,9,12,17,22,34 となり中央値が 12となり矛盾する

a=17のとき、 7,9,12,22,34,2,18 でソートすると 2,7,9,12,18,22,34 となり中央値が 12となり矛盾する

a+1=17 のとき、a=16。a-15=1。データは 7,9,12,22,34,1,17。ソートすると 1,7,9,12,17,22,34 となり中央値が12となるので、16ではない

a+1=17なので、a=16 となる、このとき、1と、17をそれぞれをデータに入れてソートすると中央値は１２になるので間違い

四分位範囲 Q3-Q1を求める。

Q1 = (7+8)/2=7.5

Q3 = (23+24)/2=23.5

四分位範囲 = 23.5 - 7.5 = 16

3. 最終的な答え

(1) $(3x + y)(x - y)$

(2) 3

(3) $tanθ = \frac{12}{5}$, $sinθ = \frac{12}{13}$

(4) 10, 74

(5) $a=23$, 16