与えられた等式 $3x^2 + 2xy + 7y^2 = a(x+y)^2 + b(x+y)(x-y) + c(x-y)^2$ が $x$ と $y$ についての恒等式となるように、定数 $a, b, c$ の値を求めます。

1. 問題の内容

与えられた等式 $3x^2 + 2xy + 7y^2 = a(x+y)^2 + b(x+y)(x-y) + c(x-y)^2$ が $x$ と $y$ についての恒等式となるように、定数 $a, b, c$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

等式の右辺を展開し、整理します。

$a(x+y)^2 + b(x+y)(x-y) + c(x-y)^2 = a(x^2+2xy+y^2) + b(x^2-y^2) + c(x^2-2xy+y^2)$

$= ax^2 + 2axy + ay^2 + bx^2 - by^2 + cx^2 - 2cxy + cy^2$

$= (a+b+c)x^2 + (2a-2c)xy + (a-b+c)y^2$

これが $3x^2 + 2xy + 7y^2$ と恒等式なので、各項の係数が等しくなります。したがって、次の連立方程式が得られます。

$a+b+c = 3$ (1)

$2a-2c = 2$ (2)

$a-b+c = 7$ (3)

式 (2) より、$a-c = 1$ 、つまり $a = c+1$ (4)

式 (1) + 式 (3) より、$2a+2c = 10$ 、つまり $a+c = 5$ (5)

式 (5) に式 (4) を代入すると、$(c+1)+c = 5$ 、つまり $2c+1 = 5$ 、$2c = 4$ 、$c = 2$

式 (4) より、$a = c+1 = 2+1 = 3$

式 (1) に $a=3$ と $c=2$ を代入すると、$3+b+2 = 3$ 、つまり $b+5 = 3$ 、$b = -2$

したがって、$a=3$, $b=-2$, $c=2$ です。

3. 最終的な答え

$a = 3, b = -2, c = 2$