整式 $x^4 + x^2 + b$ が整式 $x^2 + ax + 1$ で割り切れるような定数 $a, b$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

整式 $x^4 + x^2 + b$ が整式 $x^2 + ax + 1$ で割り切れるような定数 $a, b$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

$x^4 + x^2 + b$ が $x^2 + ax + 1$ で割り切れるということは、ある整式 $x^2 + cx + d$ が存在して、

$x^4 + x^2 + b = (x^2 + ax + 1)(x^2 + cx + d)$

と書けることを意味する。

右辺を展開すると、

$(x^2 + ax + 1)(x^2 + cx + d) = x^4 + cx^3 + dx^2 + ax^3 + acx^2 + adx + x^2 + cx + d$

$= x^4 + (a+c)x^3 + (d+ac+1)x^2 + (ad+c)x + d$

となる。

係数を比較すると、以下の連立方程式が得られる。

\begin{align} \label{eq:1} a+c &= 0 \\ d+ac+1 &= 1 \\ ad+c &= 0 \\ d &= b \end{align}

式 \eqref{eq:1} より $c = -a$

式 \eqref{eq:1} の 2 つ目より $d + ac + 1 = 1$ なので、 $d + a(-a) + 1 = 1$ より $d - a^2 = 0$。よって、$d = a^2$

式 \eqref{eq:1} の 3 つ目より $ad + c = 0$ なので、$ad - a = 0$ より $a(d-1) = 0$。

したがって、$a = 0$ または $d = 1$ となる。

- $a = 0$ のとき、$c = -a = 0$, $d = a^2 = 0$, $b = d = 0$。

- $d = 1$ のとき、$d = a^2$ より $a^2 = 1$。よって、$a = 1$ または $a = -1$ となる。

- $a = 1$ のとき、$c = -a = -1$, $d = 1$, $b = d = 1$。

- $a = -1$ のとき、$c = -a = 1$, $d = 1$, $b = d = 1$。

したがって、

1. $a=0$, $b=0$ のとき、 $x^4 + x^2 + b = x^4 + x^2 = (x^2 + 1)x^2$ となるので、$x^2 + ax + 1 = x^2 + 1$ で割り切れる。

2. $a=1$, $b=1$ のとき、 $x^4 + x^2 + b = x^4 + x^2 + 1 = (x^2 + x + 1)(x^2 - x + 1)$ となるので、$x^2 + ax + 1 = x^2 + x + 1$ で割り切れる。

3. $a=-1$, $b=1$ のとき、 $x^4 + x^2 + b = x^4 + x^2 + 1 = (x^2 - x + 1)(x^2 + x + 1)$ となるので、$x^2 + ax + 1 = x^2 - x + 1$ で割り切れる。

3. 最終的な答え

$a = 0, b = 0$

または

$a = 1, b = 1$

または

$a = -1, b = 1$