整式 $x^4 + x^2 + b$ が整式 $x^2 + ax + 1$ で割り切れるような定数 $a, b$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

整式 $x^4 + x^2 + b$ が整式 $x^2 + ax + 1$ で割り切れるような定数 $a, b$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

$x^4 + x^2 + b$ が $x^2 + ax + 1$ で割り切れるとき、ある2次式 $x^2 + cx + d$ が存在して、

$$x^4 + x^2 + b = (x^2 + ax + 1)(x^2 + cx + d)$$

と書ける。

右辺を展開すると

$$(x^2 + ax + 1)(x^2 + cx + d) = x^4 + cx^3 + dx^2 + ax^3 + acx^2 + adx + x^2 + cx + d$$

$$= x^4 + (a+c)x^3 + (d+ac+1)x^2 + (ad+c)x + d$$

両辺の係数を比較すると

\begin{align*} \label{eq:1} a+c &= 0 \\ d+ac+1 &= 1 \\ ad+c &= 0 \\ d &= b \end{align*}

最初の式から $c = -a$ である。

二番目の式から $d + ac + 1 = 1$ なので $d + a(-a) + 1 = 1$ より $d - a^2 = 0$ 、すなわち $d = a^2$ である。

三番目の式から $ad + c = 0$ なので $a(a^2) - a = 0$ 、すなわち $a^3 - a = 0$ である。

$a(a^2 - 1) = 0$ より $a(a-1)(a+1) = 0$ なので $a = 0, 1, -1$ である。

$a=0$ のとき $c=0$ であり、$d=a^2=0$ なので $b=0$ となる。しかし、このとき $x^4 + x^2 + b = x^4 + x^2$ は $x^2 + ax + 1 = x^2 + 1$ で割り切れない。

$a=1$ のとき $c=-1$ であり、$d=a^2=1$ なので $b=1$ となる。

$x^4 + x^2 + 1 = (x^2 + x + 1)(x^2 - x + 1)$ なので正しい。

$a=-1$ のとき $c=1$ であり、$d=a^2=1$ なので $b=1$ となる。

$x^4 + x^2 + 1 = (x^2 - x + 1)(x^2 + x + 1)$ なので正しい。

したがって、$a = 1$ のとき $b = 1$ であり、$a = -1$ のとき $b = 1$ である。

3. 最終的な答え

$a = 1, b = 1$ または $a = -1, b = 1$

したがって、$b=1$で、$a=1$または$a=-1$.

まとめると，$a = \pm 1, b = 1$.