与えられた式 $27x^3 + 64y^3$ を因数分解せよ。

1. 問題の内容

与えられた式 $27x^3 + 64y^3$ を因数分解せよ。

2. 解き方の手順

与えられた式は、$a^3 + b^3$ の形の和の立方である。

$a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$ の公式を利用する。

まず、$27x^3 + 64y^3$ を $a^3 + b^3$ の形に変形する。

$27x^3 = (3x)^3$ であり、$64y^3 = (4y)^3$ であるから、

$a = 3x$, $b = 4y$ となる。

したがって、

$27x^3 + 64y^3 = (3x)^3 + (4y)^3$

上記の公式に代入すると、

$(3x)^3 + (4y)^3 = (3x + 4y)((3x)^2 - (3x)(4y) + (4y)^2)$

$= (3x + 4y)(9x^2 - 12xy + 16y^2)$

3. 最終的な答え

$(3x + 4y)(9x^2 - 12xy + 16y^2)$