問題文は2つあります。 問題1：粘性抵抗を受けながら落下する質点の運動方程式 $m \frac{dv}{dt} = mg - \gamma v$ は同次微分方程式か、非同次微分方程式か、述べよ。 問題2：式(9) $x = A \cos(\omega t) + B \sin(\omega t)$ から式(10) $x = D \cos(\omega t + \delta)$ もしくは式(11) $x = E \sin(\omega t + \phi)$ への変換を示せ。

1. 問題の内容

問題文は2つあります。

問題1：粘性抵抗を受けながら落下する質点の運動方程式 $m \frac{dv}{dt} = mg - \gamma v$ は同次微分方程式か、非同次微分方程式か、述べよ。

問題2：式(9) $x = A \cos(\omega t) + B \sin(\omega t)$ から式(10) $x = D \cos(\omega t + \delta)$ もしくは式(11) $x = E \sin(\omega t + \phi)$ への変換を示せ。

2. 解き方の手順

問題1：

与えられた微分方程式 $m \frac{dv}{dt} = mg - \gamma v$ を変形して、

$\frac{dv}{dt} + \frac{\gamma}{m} v = g$

と表すことができます。

この微分方程式は、$v$ に関する1階の線形微分方程式であり、右辺が0でないため、非同次微分方程式です。

問題2：

式(9)を三角関数の合成を用いて変形します。

$x = A \cos(\omega t) + B \sin(\omega t)$

ここで、 $A = D \cos(\delta)$ , $B = -D \sin(\delta)$ となる $D$ と $\delta$ を導入します。

すると、$D = \sqrt{A^2 + B^2}$ , $\tan(\delta) = -\frac{B}{A}$ が成り立ちます。

このとき、$x$ は次のように書き換えられます。

$x = D \cos(\delta) \cos(\omega t) - D \sin(\delta) \sin(\omega t)$

$x = D [\cos(\omega t) \cos(\delta) - \sin(\omega t) \sin(\delta)]$

三角関数の加法定理 $\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta$ を用いると、

$x = D \cos(\omega t + \delta)$

となり、式(10)に変換できました。

同様に、 $A = E \sin(\phi)$ , $B = E \cos(\phi)$ となる $E$ と $\phi$ を導入します。

すると、$E = \sqrt{A^2 + B^2}$ , $\tan(\phi) = \frac{A}{B}$ が成り立ちます。

このとき、$x$ は次のように書き換えられます。

$x = E \sin(\phi) \cos(\omega t) + E \cos(\phi) \sin(\omega t)$

$x = E [\sin(\phi) \cos(\omega t) + \cos(\phi) \sin(\omega t)]$

三角関数の加法定理 $\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$ を用いると、

$x = E \sin(\omega t + \phi)$

となり、式(11)に変換できました。

3. 最終的な答え

問題1：非同次微分方程式

問題2：

式(9)から式(10)への変換：

$x = A \cos(\omega t) + B \sin(\omega t) = D \cos(\omega t + \delta)$, $D = \sqrt{A^2 + B^2}$, $\tan(\delta) = -\frac{B}{A}$

式(9)から式(11)への変換：

$x = A \cos(\omega t) + B \sin(\omega t) = E \sin(\omega t + \phi)$, $E = \sqrt{A^2 + B^2}$, $\tan(\phi) = \frac{A}{B}$