$xy$平面上の2次元スカラー場 $\phi(x, y)$ が $\phi = \frac{1}{r}$ で与えられるとき、$A = -\text{grad} \phi$ から求められるベクトル場 $A$ を図示せよ。ただし、$r = \sqrt{x^2 + y^2}$である。

1. 問題の内容

$xy$平面上の2次元スカラー場 $\phi(x, y)$ が $\phi = \frac{1}{r}$ で与えられるとき、$A = -\text{grad} \phi$ から求められるベクトル場 $A$ を図示せよ。ただし、$r = \sqrt{x^2 + y^2}$である。

2. 解き方の手順

(1) まず、$\phi$ の勾配を計算する。$\phi = \frac{1}{r} = \frac{1}{\sqrt{x^2 + y^2}}$ であるから、

$\frac{\partial \phi}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} (x^2 + y^2)^{-1/2} = -\frac{1}{2}(x^2 + y^2)^{-3/2}(2x) = -\frac{x}{(x^2 + y^2)^{3/2}} = -\frac{x}{r^3}$

$\frac{\partial \phi}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} (x^2 + y^2)^{-1/2} = -\frac{1}{2}(x^2 + y^2)^{-3/2}(2y) = -\frac{y}{(x^2 + y^2)^{3/2}} = -\frac{y}{r^3}$

したがって、

$\text{grad} \phi = \left( \frac{\partial \phi}{\partial x}, \frac{\partial \phi}{\partial y} \right) = \left( -\frac{x}{r^3}, -\frac{y}{r^3} \right)$

(2) 次に、$A = -\text{grad} \phi$ を計算する。

$A = -\text{grad} \phi = - \left( -\frac{x}{r^3}, -\frac{y}{r^3} \right) = \left( \frac{x}{r^3}, \frac{y}{r^3} \right)$

$A = \left( \frac{x}{(x^2 + y^2)^{3/2}}, \frac{y}{(x^2 + y^2)^{3/2}} \right)$

これは、原点から遠ざかる向きを向いたベクトル場であり、ベクトルの大きさは原点からの距離の3乗に反比例する。

図示するには、いくつかの点でベクトルを計算し、矢印を描けば良い。例えば、(1, 0) では $A = (1, 0)$、(2, 0) では $A = (1/4, 0)$、(0, 1) では $A = (0, 1)$、(0, 2) では $A = (0, 1/4)$となる。

ベクトル場は原点から放射状に広がり、原点に近いほどベクトルの長さは大きくなる。

3. 最終的な答え

ベクトル場 $A$ は、$A = \left( \frac{x}{(x^2 + y^2)^{3/2}}, \frac{y}{(x^2 + y^2)^{3/2}} \right)$ であり、原点から放射状に広がり、原点に近いほどベクトルの長さは大きくなるベクトル場である。図は、このベクトル場の概略を示す。