x-y平面上の2次元スカラー場 $\phi(x, y)$ が $\phi = \frac{1}{x}$ で与えられているとき、ベクトル場 $\mathbf{A} = -\text{grad} \phi$ を求め、図示せよ。ここで、$x > 0$とする。

1. 問題の内容

x-y平面上の2次元スカラー場 $\phi(x, y)$ が $\phi = \frac{1}{x}$ で与えられているとき、ベクトル場 $\mathbf{A} = -\text{grad} \phi$ を求め、図示せよ。ここで、$x > 0$とする。

2. 解き方の手順

まず、勾配 $\text{grad} \phi$ を計算する。2次元デカルト座標系において、勾配は次のように定義される。

$$\text{grad} \phi = \frac{\partial \phi}{\partial x} \mathbf{i} + \frac{\partial \phi}{\partial y} \mathbf{j}$$

ここで、$\mathbf{i}$ と $\mathbf{j}$ はそれぞれx軸方向とy軸方向の単位ベクトルである。

$\phi = \frac{1}{x}$ であるから、

$$\frac{\partial \phi}{\partial x} = -\frac{1}{x^2}$$

$$\frac{\partial \phi}{\partial y} = 0$$

したがって、

$$\text{grad} \phi = -\frac{1}{x^2} \mathbf{i} + 0 \mathbf{j} = -\frac{1}{x^2} \mathbf{i}$$

問題では、$\mathbf{A} = -\text{grad} \phi$ を求めるとあるので、

$$\mathbf{A} = - \left( -\frac{1}{x^2} \mathbf{i} \right) = \frac{1}{x^2} \mathbf{i}$$

ベクトル場$\mathbf{A}$はx軸方向のみを向き、その大きさは$\frac{1}{x^2}$である。したがって、xの値が大きいほどベクトルの長さは短くなり、xの値が小さいほどベクトルの長さは長くなる。y座標の値には依存しない。ベクトル場を図示するには、x-y平面上に、各点(x, y)においてx軸方向に長さ $\frac{1}{x^2}$ のベクトルを描けばよい。

3. 最終的な答え

$\mathbf{A} = \frac{1}{x^2} \mathbf{i}$

図示については、x-y平面上の各点において、x軸正方向に長さ$\frac{1}{x^2}$のベクトルを描く。ベクトルの長さはx座標のみに依存し、xが大きくなるにつれて短くなる。y座標の値には依存しない。