複素数平面上で、次の条件を満たす点 $z$ は、どのような図形を描くか。 (1) $|z-4| = |z-2i|$ (2) $|z-1-i| = \sqrt{2}$

1. 問題の内容

複素数平面上で、次の条件を満たす点 $z$ は、どのような図形を描くか。

(1) $|z-4| = |z-2i|$

(2) $|z-1-i| = \sqrt{2}$

2. 解き方の手順

(1) $z = x + yi$ ( $x$, $y$ は実数) とおくと、

$|z-4| = |x + yi - 4| = |(x-4) + yi| = \sqrt{(x-4)^2 + y^2}$

$|z-2i| = |x + yi - 2i| = |x + (y-2)i| = \sqrt{x^2 + (y-2)^2}$

したがって、$\sqrt{(x-4)^2 + y^2} = \sqrt{x^2 + (y-2)^2}$

両辺を2乗して、$(x-4)^2 + y^2 = x^2 + (y-2)^2$

$x^2 - 8x + 16 + y^2 = x^2 + y^2 - 4y + 4$

$-8x + 16 = -4y + 4$

$4y = 8x - 12$

$y = 2x - 3$

これは直線を表す。

幾何学的には、$|z-4|$ は点 $z$ と点 $4$ との距離、$|z-2i|$ は点 $z$ と点 $2i$ との距離を表すので、$|z-4| = |z-2i|$ は点 $4$ と点 $2i$ から等距離にある点 $z$ の集合を表す。これは、$4$ と $2i$ を結ぶ線分の垂直二等分線になる。

(2) $z = x + yi$ ( $x$, $y$ は実数) とおくと、

$|z-1-i| = |x + yi - 1 - i| = |(x-1) + (y-1)i| = \sqrt{(x-1)^2 + (y-1)^2}$

したがって、$\sqrt{(x-1)^2 + (y-1)^2} = \sqrt{2}$

両辺を2乗して、$(x-1)^2 + (y-1)^2 = 2$

これは、中心 $(1, 1)$、半径 $\sqrt{2}$ の円を表す。

幾何学的には、$|z-1-i|$ は点 $z$ と点 $1+i$ との距離を表すので、$|z-1-i| = \sqrt{2}$ は点 $1+i$ からの距離が $\sqrt{2}$ である点 $z$ の集合を表す。これは、中心 $1+i$、半径 $\sqrt{2}$ の円になる。

3. 最終的な答え

(1) 直線 $y = 2x - 3$

(2) 中心 $(1, 1)$、半径 $\sqrt{2}$ の円