3点 $A(-1, 2)$, $B(5, -1)$, $C(6, 1)$ が与えられたとき、次の問いに答える。 (1) 直線ABの方程式を求めよ。 (2) 点Cと直線ABの距離を求めよ。 (3) 三角形ABCの面積を求めよ。

1. 問題の内容

3点 $A(-1, 2)$, $B(5, -1)$, $C(6, 1)$ が与えられたとき、次の問いに答える。

(1) 直線ABの方程式を求めよ。

(2) 点Cと直線ABの距離を求めよ。

(3) 三角形ABCの面積を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 直線ABの方程式を求める。

まず、直線ABの傾き $m$ を求める。

$m = \frac{-1 - 2}{5 - (-1)} = \frac{-3}{6} = -\frac{1}{2}$

次に、点A $(-1, 2)$ を通り、傾きが $-\frac{1}{2}$ の直線の方程式を求める。

$y - 2 = -\frac{1}{2}(x - (-1))$

$y - 2 = -\frac{1}{2}(x + 1)$

$2(y - 2) = -(x + 1)$

$2y - 4 = -x - 1$

$x + 2y - 3 = 0$

したがって、直線ABの方程式は、$x + 2y - 3 = 0$

(2) 点Cと直線ABの距離を求める。

点 $(x_0, y_0)$ と直線 $ax + by + c = 0$ の距離dは、

$d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$

点C $(6, 1)$ と直線 $x + 2y - 3 = 0$ の距離dは、

$d = \frac{|1 \cdot 6 + 2 \cdot 1 - 3|}{\sqrt{1^2 + 2^2}} = \frac{|6 + 2 - 3|}{\sqrt{1 + 4}} = \frac{|5|}{\sqrt{5}} = \frac{5}{\sqrt{5}} = \sqrt{5}$

したがって、点Cと直線ABの距離は $\sqrt{5}$

(3) 三角形ABCの面積を求める。

ベクトル $\vec{AB} = (5 - (-1), -1 - 2) = (6, -3)$

ベクトル $\vec{AC} = (6 - (-1), 1 - 2) = (7, -1)$

三角形ABCの面積Sは、

$S = \frac{1}{2} |6 \cdot (-1) - (-3) \cdot 7| = \frac{1}{2} |-6 + 21| = \frac{1}{2} |15| = \frac{15}{2}$

したがって、三角形ABCの面積は $\frac{15}{2}$

3. 最終的な答え

(1) 直線ABの方程式：$x + 2y - 3 = 0$

(2) 点Cと直線ABの距離：$\sqrt{5}$

(3) 三角形ABCの面積：$\frac{15}{2}$