変量 $X$ と $Y$ のデータ $(x_i, y_i)$ に対して、$X' = ax_i + b$、$Y' = cy_i + d$ という新しい変量 $X'$、$Y'$ を定義する。 (1) $X'$ の分散が $X$ の分散の何倍になるか。 (2) $X'$ と $Y'$ の共分散が $X$ と $Y$ の共分散の何倍になるか。 (3) $X'$ と $Y'$ の相関係数が $X$ と $Y$ の相関係数の何倍になるかを求める問題です。

1. 問題の内容

変量 $X$ と $Y$ のデータ $(x_i, y_i)$ に対して、$X' = ax_i + b$、$Y' = cy_i + d$ という新しい変量 $X'$、$Y'$ を定義する。

(1) $X'$ の分散が $X$ の分散の何倍になるか。

(2) $X'$ と $Y'$ の共分散が $X$ と $Y$ の共分散の何倍になるか。

(3) $X'$ と $Y'$ の相関係数が $X$ と $Y$ の相関係数の何倍になるかを求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) $X'$ の分散 $V(X')$ を求める。

$V(X') = V(ax + b) = a^2V(X)$ より、$X'$ の分散は $X$ の分散の $a^2$ 倍。

(2) $X'$ と $Y'$ の共分散 $Cov(X', Y')$ を求める。

$Cov(X', Y') = Cov(ax+b, cy+d) = ac \cdot Cov(X, Y)$ より、$X'$ と $Y'$ の共分散は $X$ と $Y$ の共分散の $ac$ 倍。

(3) $X'$ と $Y'$ の相関係数 $r(X', Y')$ を求める。

$r(X', Y') = \frac{Cov(X', Y')}{\sqrt{V(X')V(Y')}}$

$= \frac{ac \cdot Cov(X, Y)}{\sqrt{a^2V(X)c^2V(Y)}} = \frac{ac}{|ac|} \cdot \frac{Cov(X, Y)}{\sqrt{V(X)V(Y)}} = \frac{ac}{|ac|} \cdot r(X, Y)$

よって、$X'$ と $Y'$ の相関係数は $X$ と $Y$ の相関係数の $\frac{ac}{|ac|}$ 倍。

3. 最終的な答え

ア: $a^2$

イ: $ac$

ウ: $\frac{ac}{|ac|}$