ベクトル場 $F = x^2yj + 2zk$ と $G = x^2i + yz^2k$ が与えられたとき、$\text{div}(F+G)$ を計算せよ。

1. 問題の内容

ベクトル場 $F = x^2yj + 2zk$ と $G = x^2i + yz^2k$ が与えられたとき、$\text{div}(F+G)$ を計算せよ。

2. 解き方の手順

まず、$F+G$ を計算します。

$F+G = (0+x^2)i + (x^2y+0)j + (2z+yz^2)k = x^2i + x^2yj + (2z+yz^2)k$

次に、発散（divergence）の定義に従って、$\text{div}(F+G)$ を計算します。

$\text{div}(F+G) = \frac{\partial}{\partial x}(x^2) + \frac{\partial}{\partial y}(x^2y) + \frac{\partial}{\partial z}(2z+yz^2)$

それぞれの偏微分を計算します。

$\frac{\partial}{\partial x}(x^2) = 2x$

$\frac{\partial}{\partial y}(x^2y) = x^2$

$\frac{\partial}{\partial z}(2z+yz^2) = 2+2yz$

したがって、

$\text{div}(F+G) = 2x + x^2 + 2 + 2yz$

3. 最終的な答え

$\text{div}(F+G) = x^2 + 2x + 2yz + 2$