(1) 三角形ABCの外心をOとする。線分OA, OB, OCの垂直二等分線をそれぞれ$l_1, l_2, l_3$とし、$l_1$と$l_2$の交点をP、$l_2$と$l_3$の交点をQ、$l_3$と$l_1$の交点をRとする。このとき、Oは三角形PQRの内心であることを示す。 (2) AB=6, AC=4, BC=5である三角形ABCの内心をIとする。また、直線AIと辺BCの交点をDとする。BD:DC, AI:IDをそれぞれ求めよ。

はい、承知いたしました。問題文を読み解き、(1)と(2)の問題を解いていきます。

1. 問題の内容

(1) 三角形ABCの外心をOとする。線分OA, OB, OCの垂直二等分線をそれぞれ$l_1, l_2, l_3$とし、$l_1$と$l_2$の交点をP、$l_2$と$l_3$の交点をQ、$l_3$と$l_1$の交点をRとする。このとき、Oは三角形PQRの内心であることを示す。

(2) AB=6, AC=4, BC=5である三角形ABCの内心をIとする。また、直線AIと辺BCの交点をDとする。BD:DC, AI:IDをそれぞれ求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

三角形PQRの内心がOであることを示すためには、OP, OQ, ORがそれぞれ角P, 角Q, 角Rの二等分線であることを示せばよい。

まず、$l_1$はOAの垂直二等分線なので、AP = OPである。同様に、$l_2$はOBの垂直二等分線なので、BP = OP。したがって、AP = BPより、Pは線分ABの垂直二等分線上にあり、角APBは二等辺三角形である。

同様に、Qは線分BCの垂直二等分線上に、Rは線分CAの垂直二等分線上にある。ここで、Oは三角形ABCの外心であるから、OA=OB=OCである。

$l_1$と$l_2$の交点がPであるから、OPは角AOBの二等分線である。同様に、OQは角BOCの二等分線、ORは角COAの二等分線である。

角POR = 角POC + 角COR = (1/2)角BOC + (1/2)角COA = (1/2)(角BOC + 角COA) = (1/2)(360度 - 角AOB) = 180度 - (1/2)角AOB = 180度 - 角AOP = 角APO + 角PAO = 角APO + 角ABO

したがって、OPは角Pの二等分線である。同様に、OQ, ORも角Q, 角Rの二等分線である。よって、Oは三角形PQRの内心である。

(2)

まず、角の二等分線の性質より、BD:DC = AB:AC = 6:4 = 3:2

BC=5より、BD=3, DC=2

次に、AI:IDを求める。メネラウスの定理より、

(BD/DC) * (CE/EA) * (AI/ID) = 1

ここで、Iは三角形ABCの内心なので、角の二等分線の性質より、CE/EA = BC/BA = 5/6

したがって、

(3/2) * (5/6) * (AI/ID) = 1

AI/ID = 1 / ((3/2)*(5/6)) = 1 / (15/12) = 12/15 = 4/5

3. 最終的な答え

(1) Oは三角形PQRの内心である（証明終わり）

(2) BD:DC = 3:2, AI:ID = 4:5