三角形 ABC において、辺 BC 上に点 D があり、2BD = DC、∠ABC = 45°、∠ADC = 60°、AB = 2 である。このとき、∠ACB の大きさと辺 BC の長さを求める。 問題文中の空欄ア～タを埋める。

1. 問題の内容

三角形 ABC において、辺 BC 上に点 D があり、2BD = DC、∠ABC = 45°、∠ADC = 60°、AB = 2 である。このとき、∠ACB の大きさと辺 BC の長さを求める。

問題文中の空欄ア～タを埋める。

2. 解き方の手順

(1) 花子さんの解法

線分 DC の中点を E とし、線分 AE の延長上に点 F を、∠ADF = 90° となるようにとる。

* ア: △DEF は直角三角形である。線分 DE = EC より、AD は ∠FDC を二等分するので、△ADF と △ADE は合同である。従って、△ADF は直角二等辺三角形となるから、△DEF は直角二等辺三角形である。

* イ: △ADF と △ADE が合同なので、∠DFE = ∠DAE。従って、△FID と △ADE は合同。

* ウ: ∠DFC = ∠AFE = 45°

* エ: ∠BAD = 15°

* オ: ∠BAD = ∠BAE - ∠DAE = 45° - 30° = 15°

* カ: ∠FCA = 30°

* キ: ∠ACB = ∠FCA + ∠ACF = 30° + 45° = 75°

(2) 太郎さんの解法

点 B から辺 AC に垂線を下ろし交点を G とする。AG = x とする。

△BCG と △ABG は直角三角形であり、∠BAG = 45°であるから、△ABG は直角二等辺三角形である。

* クケ: ∠BAC = 45°

* BG = CG

* コ: BG = AG = x

* サ: BC = x + x = 2x

△ABG において、AB = 2 より、三平方の定理から $x^2 + x^2 = 2^2$ よって $2x^2 = 4$ となり、$x^2 = 2$ なので、$x = \sqrt{2}$

従って、$BC = 2\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

ア: ③ (直角二等辺三角形)

イ: ① (△DEF)

ウ: ④ (45°)

エ: ① (15°)

オ: ① (15°)

カ: ③ (30°)

キ: ⑦ (75°)

クケ: ④ (45)

コ: $\sqrt{2}$

サ: $2\sqrt{2}$